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1、§1.5二维傅里叶变换2-DFourierTransform一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数为函数f(x,y)的傅里叶变换,记作:F(fx,fy)={f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],或f(x,y)F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函数,F(fx,fy):像函数或频谱函数变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2pfx)由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变
2、换对记作:f(x,y)=-1{F(fx,fy)}.显然-1{f(x,y)}=f(x,y)综合可写:f(x,y)F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)和fx(fy)称为一对共轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频域)描述同一个物理对象.描述了各频率分量的相对幅值和相移.x,y,fx,fy均为实变量，F(fx,fy)一般是复函数,F(fx,fy)=A(fx,fy)ejf(fx,fy)振幅谱位相谱F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数广义F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.例:g(x,y)=1,
3、在(-,+)不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F.T.可定义:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)t则{g(x,y)}=lim{rect(x/t)rect(y/t)}t§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform二、广义F.T.根据广义傅立叶变换的定义和d函数的定义:{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)t则{rect(x/t)rect(y/t)}=t2si
4、nc(tfx)sinc(tfy){1}=d(fx,fy)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.{rect()}重要推论:{rect(x)}=sinc(fx)二、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T.依F.T.定义:极坐标变换§1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform极坐标下的二维傅里叶变换令:则在极坐标中:则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform傅里叶-贝塞尔变换圆对称函数的F.T.仍是圆对称函
5、数,称为F-B(傅-贝)变换,记为G(r)={g(r)},g(r)=-1{G(r)}当f具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)=g(r,q)=g(r).依F.T.定义:利用贝塞尔函数关系2-DFourierTransform傅里叶-贝塞尔变换例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义:是圆对称函数作变量替换,令r’=2prr,并利用:四、F.T.定理--F.T.的基本性质1.线性定理Linearity设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空间缩放Scaling(相
6、似性定理）{ag(x,y)+bh(x,y)}=aG(fx,fy)+bH(fx,fy)F.T.是线性变换§1-2二维傅里叶变换FourierTransform四、F.T.定理空间缩放注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b<1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域压缩F.T.F.T.频域扩展3.位移定理Shifting{g(x-a,y-b)}=G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb
7、)]设g(x,y)G(fx,fy),F.T.频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-fa,fy-fb)空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.推论:由{1}=d(fx,fy){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-fa,fy-fb)复指函数的F.T.是移位的d函数4.帕色伐(Parseval)定理
8、G(f)
9、2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)设g(x,y)G(fx,fy),F
10、.T.Parseval定理说明,信号的能量由
11、G(f)
12、2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒Parseval定理的证明交换积分顺序,先对x求积分:利用复指函数的F.T.利用d函数的筛选性质5.卷积定理空域中两个函数的卷积,其F.T.是各自F.T.的乘积.{g(x,y)*h(x,y)}=G(fx,fy).H(fx,fy)设g(x,y)G(
