傅里叶变换 ppt课件.ppt

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1、第八章傅里叶变换§8.1傅里叶变换的概念定理8.1设fT（t）是以T为周期的实值函数，且在闭区间[-T/2,T/2]上满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即fT（t）在区间[-T/2,T/2]上满足1.连续或只有有限个第一类间断点2.只有有限个极值点则在fT（t）的连续点处有：其中在间断点t0处，根据欧拉公式可知：代入可得：其中：上式称为傅里叶级数的复指数形式。（工程上常用的形式）傅里叶级数的物理意义在傅里叶级数的三角形式中，令若以fT（t）代表信号，则说明一个周期为T的信号可以分解为简谐波之和。由上式可以看出频率

2、为的第n次振动的振幅为An相位为θn.0称Cn为周期函数fT（t）的离散频谱，为离散振幅谱，argCn为离散相位谱。为了进一步明确Cn与频率nω0的对应关系，常记F（nω0）=Cn.例1：求以T为周期的函数的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。解：令,当n=0时，的傅里叶级数的复指数形式为：振幅谱为相位谱为§8.1.2傅氏积分与傅氏变换对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外

3、按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有OtfT(t)Otf(t)OtfT(t)将间隔记为,节点记为并由得:这是一个和式的极限，按照积分定义，在一定条件下，上式可写为：此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式.从傅里叶积分公式出发，令则有上面两式中的广义积分是柯西意义下的主值，在f（t）的间断点处，主值意义下的广义积分定义设函数在实轴的任何有限区间上都可积.若极限存在,则称在主值意义下在区间上的广义积分收敛,

4、记为本教材后面所遇到积分都是主值意义下的广义积分，而采用普通意义下的广义积分记号来表示主值意义下的广义积分，简称广义积分。定理8.2（傅氏积分定理）如果f(t)在(-,+)上的任一有限区间满足狄氏条件(即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点(2)至多有有限个极值点）,且在无限区间(-,+)上绝对可积,则有t为连续点t为间断点即定义8.1傅里叶变换的概念叫做的傅氏变换,象函数,可记做：=ℱ[]的傅氏逆变换,象原函数,叫做=ℱ也叫做的傅氏积分表达式像函数F(ω)与像原函数f（t）构成了一个傅

5、氏变换对。傅氏变换的物理意义—频谱称为的频谱函数振幅谱为偶函数,即其模称为的振幅谱证明在频谱分析中,傅氏变换F(ω)又称为f(t)的频谱函数,而它的模

6、F(ω)

7、称为f(t)的振幅谱(简称为频谱).由于ω是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.例2求函数的傅氏变换及傅氏积分表达式。解:1.求傅氏变换=ℱ[]2.求傅氏逆变换（即f(t)的傅氏积分表达式）相位谱为:（图见P190）振幅谱为:在上式中令t=0得即有（重要积分公式）例3求函数的傅氏变换和傅氏积分表达式.解:tf(t

8、)若上式右端为例4：（P2118.5①）求函数的傅氏变换，证明解：=ℱ[]ℱ-1[]故由（重要积分公式）傅氏积分公式的三角形式：(P2108.1)§8.2单位脉冲函数（δ函数）在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)

9、表示上述电路中的电荷函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成δ-函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.δ-

10、函数是一个广义函数，它没有普通意义下的函数值，所以，它不能用通常意义下“值的对应关系”来定义。在广义函数论中，δ-函数定义为某基本函数空间上的线性连续泛函，但要讲清它需要用到一些超出工程数学教学大纲范围的知识。简单定义单位脉冲函数δ(t)是满足下面两个条件的函数：或者定义为：对于任何一个无穷次可为微的函数f（t）,如果满足则称的弱