《傅里叶变换详解》PPT课件.ppt

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1、第七章傅里叶变换在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数，经过某种可逆

2、的积分方法（即为通过含参变量的积分）变为另一函数类B中的函数这里是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核．称为的像函数或简称为像，称为的原函数．在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解．另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:（1）特别当核函数（注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数为函数的傅里叶（Fourier）变换，

3、简称为函数的傅氏变换．同时我们称为的傅里叶逆变换．（2）特别当核函数（注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数为函数的拉普拉斯(Laplace)变换，简称为函数的拉氏变换．同时我们称为的拉氏逆变换．7.1傅里叶级数本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容7.1.1周期函数的傅里叶展开定义7.1.1傅里叶级数傅里叶级数展开式傅里叶系数若函数以为周期，即为的光滑或分段光滑函数，且定义域为，则可取三角函数族(7.1.2)作为基本函数族，将展开为傅里叶级数（即下式右端级数）(7.1.3)式（7.1.3）称为周期函数的傅里叶级数展开式（简称傅氏级数展开），其中

4、的展开系数称为傅里叶系数（简称傅氏系数）．函数族(7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为（7.1.4）其中关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：狄利克雷（Dirichlet）定理7.1.1若函数满足条件：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期内只有有限个极值点，则级数（7.1.3）收敛，且在收敛点有：在间断点有：7.1.2奇函数及偶函数的傅里叶展开定义7.1.2傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数若周期函数是奇函数，则由傅里叶系数的计算公式

5、(7.1.4)可见，所有均等于零，展开式(7.1.3)成为(7.1.5)这叫作傅里叶正弦级数．容易检验（7.1.5）中的正弦级数在处为零．由于对称性，其展开系数为若周期函数是偶函数，则由傅里叶系数计算公式可见，所有均等于零，展开式(7.1.3)成为(7.1.6)这叫作傅里叶余弦级数．同样由于对称性，其展开系数为(7.1.7)由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周期函数．9.1.3复数形式的傅里叶级数定义7.1.3复数形式的傅里叶级数取一系列复指数

6、函数(7.1.8)作为基本函数族，可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数(7.1.9)利用复指数函数族的正交性，可以求出复数形式的傅里叶系数(7.1.10)式中“*”代表复数的共轭上式(7.1.9)的物理意义为一个周期为2l的函数可以分解为频率为，复振幅为的复简谐波的叠加．称为谱点，所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言，谱是离散的．尽管是实函数，但其傅里叶系数却可能是复数，且满足：或(7.1.11)7.2实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开，下面讨论非周期函数的级数展开．7.2.1实数形式的傅里叶积分定义7.2.1实数形式的傅里

7、叶变换式傅里叶积分傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期时的极限情形．这样，的傅里叶级数展开式(7.2.1)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开．下面我们研究这一极限过程：设不连续的参量故（7.2.1）为（7.2.2）傅里叶系数为(7.2.3)代入到(7.2.2)，然后取的极限．对于系数，若有限，则而余弦部分为当，不连续参变量变为连续参量，以符号代替．对的求和变为对连续参量的积分，上式变为同理可得正弦部分若令（7.2.4）式（7.2.4）称为的（实数形式）傅里叶变换式．故（7.2.2）在时的极限形式变为（注意到）(7.2.5)上式(7.2

8、.5)右边的积分称为（实