《广义反演法》PPT课件.ppt

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1、地球物理反演理论地球物理反演课程组武汉大学测绘学院内容1、广义逆矩阵的概念;2、奇异值分解（SVD）和自然逆;3、广义反演法；4、数据分辨矩阵；5、参数分辨矩阵；6、特征值的应用；7、分辨力高低和方差大小的测度；8、最佳折衷解；1、广义逆矩阵的概念前面我们讨论了解线性反演问题的长度法，无疑还可以定义其他各式各样的长度，比如范数等。但是，由于其他范数解的应用并非如此广泛，因而，没有必要在这里进一步加以论述了。这里我们将从另一个角度，即广义逆矩阵的角度讨论线性反演问题，并称基于广义逆矩阵建立起来的线性反演法叫广义反演法（Gener-alizedInversion），或广义线性反演法（G

2、eneralizedLinearInversion，缩写为GLI）。设线性反演问题：如果把G看成一个映射算子，那么正演问题就是将模型空间中的m模型通过算子G映射到数据空间中的观测数据d通过映射到模型空间中的模型m的一种运算。由矩阵理论可知，若G是非奇异矩阵，那么。这里是G的逆矩阵，且有：在G是奇异矩阵的情况下，G的逆并不存在，故我们称为矩阵G的广义逆。所谓广义逆是矩阵G在常规意义下的逆之推广。普通逆矩阵只是广义逆矩阵的一种特殊形式。显然，在奇异矩阵情况下，：2、奇异值分解（SVD）和自然逆为了更好地了解在线性反演中应用相当普遍的奇异矩阵的奇异值分解（SingularValueDec

3、omposition,缩写为SVD），我们先从矩阵分解讲起。-----实对称矩阵的正交分解;任何一个实对称矩阵G均可分解为三个矩阵之连乘积，第一和第三个矩阵分别为G的特征向量矩阵U和它的转置，而第二个矩阵则是G的特征值构成的对角线矩阵。------非奇异且非对称矩阵的分解;-----Lanczos的奇异值分解;（3.25）任何一个MxN阶的矩阵G，均可分解为(3.25）式，即可分解为三个矩阵之乘积。取：（3.29）为矩阵G的逆算子，它被Lanczos称为“自然逆”（naturalinverse）。Jackson又称它为Lanczos逆。尔后，大多数学者（如Aki），包括Penros

4、在内都把它称为广义逆。而把基于（3.29）式建立起来的解线性反演问题的方法统称为广义反演法.因而Gm=d的解为：可以证明（3.29）式定义的自然逆满足Penros给出的四个条件。3、广义反演法；在这节里，我们只涉及基于Lanczos自然逆而建立起来的广义反演法，而不讨论基于一般广义逆（即不全部满足Penros定义的四个条件的逆）的所谓广义反演法。3、广义反演法；在这节里，我们只涉及基于Lanczos自然逆而建立起来的广义反演法，而不讨论基于一般广义逆（即不全部满足Penros定义的四个条件的逆）的所谓广义反演法。设线性反演问题为：Gm=d根据自然逆的定义，有：下面，我们分如下四种情

5、况分别讨论。（1）当M=N=r时，和均不存在，即和均不存在，即和都是标准的正交矩阵且：因此，（2）当时，Gm=d是超定方程。不复存在，但存在，此时是正交矩阵，即：而U，是半正交矩阵，即：因此，在这种情况下，广义反演法的解为：（3）当时，Gm=d是欠定方程。此时，不复存在，而存在。是正交矩阵，且：而是半正交矩阵，即：因此，广义反演法的解为：这就是欠定问题的最小长度解，而且解是惟一的。（4）当时，和都存在。因此，可以把广义反演解看成是同时在U空间极小和在V空间极小的结果。为了帮助大家理解奇异值分解和广义逆的意义，现在分析两个简单的例子。例1:例2:4、数据分辨矩阵；用广义反演法解线性反

6、演问题，不但可以求得一个拟合观测数据的模型m，而且可以获得一些与观测数据d和模型参数m有关的辅助信息，例如，数据分辨矩阵（dataresolutionmatrix）等。假定已经求得模型，即：这里，用表示用广义反演法构制的模型，以示和真实模型m之区别。试问，能拟合观测数据吗？也就是说，把代入线性方程D=Gm能获得与d相同的重建数据吗？若用表示重建数据，则有：式中：是阶方阵，叫数据分辨矩阵（dataresolutionmatrix）或信息密度矩阵（informationdensitymatrix）。它是拟合观测数据好坏程度的标志，如图所示，矩阵F的第i行中诸要素越接近于1，则越接近于，

7、即分辨力越高，因为：由于数据分辨矩阵F主对角线要素表明接近的程度，因此又定义F的对角线矩阵，即：为重要性（importance）矩阵。5、参数分辨矩阵；由广义反演法构制出来的模型是真正的模型m吗？为回答这一问题，可先将代入上式，则得：式中：R为阶方阵，R称之为参数分辨矩阵（parameterresolutionmatrix）或模型分辨矩阵（modelresolutionmatrix）。它是用广义反演法构制的模型和真正地球物理模型m接近程度的一种重要标志。当时，。当时，