2013年全国初中数学竞赛预赛.doc

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1、2013年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案1一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若有理数a、b满足，则等于【】（A）（B）1（C）0（D）无法确定【答】A．第2题图解：因为a、b都是有理数，且，所以,且，得，所以．2.如图，由7个小正方形组成的平面图形折叠（相邻的两个面垂直）成正方体后，重叠的两个面所标数字是【】（A）1和7（B）1和6（C）2和7（D）2和6【答】B．解：若将图中标有1的面去掉，则标有2、3、4、5、

2、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B．第3题图3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC交AC于点O，AE平分∠CAD交BD于点E，∠ABC=，∠ACB=，给出下列结论：①∠DAE=；②；③∠AEB=；④∠ACD=．其中一定正确的有【】（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个【答】B．解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=，∴①正确；（2）∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴，∴②正确；（3）∠AEB=∠DAE+∠ADB=∠DAE+∠CBD=，∴③

3、正确；（4）∵∠BAC=，只有当AB∥DC时，∠ACD=才能成立．∴④不正确.综上，应选B.第4题图O阿Ayxl1l2CB4．如图，直线l1、l2相交于点，l1、l2与x轴分别交于点和，则当时，自变量x的取值范围是【】（A）（B）（C）（D）【答】C．解：由图象可知当时，当时，，所以当时，.故应选C．5．关于x的不等式的解集为，则a应满足【】（A）（B）（C）a≥1（D）a≤1【答】B．第6题图解：由，得，由不等式的解集为，知，所以，得．故应选B．6．如图的象棋盘中，“卒”从A点走到B点，最短路径共有【】（A）14条（B）15条（C）20条（D）35条【答】D．解：如右图，从

4、点A出发，每次向上或向右走一步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如：到达点P、Q的最短路径条数分别为2和3.以此类推，到达点B的最短路径条数为35条.选D.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）第8题图7．计算：．【答】．解：原式=8．如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，则、、的大小关系为．【答】．解：由图象可知为负数，、为正数，不妨取x=1，代入解析式，显然点在点的正下方，所以，又为负数，所以．9．有6个小球，其中黑色、红色、绿色各2个，它们除颜色外其它都一样，将它们放入一个不透明的袋子中，充分摇匀后，从中随机摸出2个球，摸出的球颜色一样的概率是．【答】

5、．解：摸出的2个球都是黑球的概率是，所以摸出的球颜色一样的概率是.10．如图，点C是线段AB上一个动点，∠A=∠B=30°，∠ADC=∠BEC=90°，若AB=8cm，则CD+CE=cm．【答】4．解：在Rt△ADC中，∠A=30°，得，同理,所以(cm)．11．关于x的方程的两实数根之积等于，则的值是．【答】4．解：由题意得，解得，当时，原方程无实数根，当时，原方程有两个不相等的实数根，所以.12．计算：.【答】．解：令，则原式=×==.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2

6、人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人？【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人、5人、4人一列分别可以整排a、b、c列，则．（a、b、c是正整数）∴4分由②，得因为c为正整数，可令所以（m是正整数）③将③代入①，得∴7分因为b为正整数，可令所以（n是正整数）④将④代入③，得11分∴（n是正整数）.当n=1时，y有最小值52.即参加比赛列队的至少有52人.14分14．如图，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E（A、B两点除外），过E、B、C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交

7、于点G．（1）求证：四边形EFCH是正方形；（2）设BE=x，△CGH的面积是y，求y与x的函数解析式，并求y的最大值．【答案】（1）∵E、B、C、H、F在同一圆上，且∠EBC=90°，∴∠EHC=90°，∠EFC=90°．2分又∠FBC=∠HBC=45°，∴CF=CH．4分∵∠HBF+∠HCF=180°，∴∠HCF=90°．6分∴四边形EFCH是正方形．8分（2）∵∠GHB+∠GCB=180°，∴∠GHB=90°，由（1）知∠CHE=90°，∴∠CHG+∠CHB=∠EHB+∠CHB．∴∠CHG=∠EH