一模考前专项训练.doc

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数学思想专项训练(一)　函数与方程思想方法概述适用题型　　函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.　　函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几种类型：(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.一、选择题1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[2,3]，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　)A．(－3，－2)　　　　　B．(－∞，－3)∪(－2，＋∞)C．(－，－)D．(－∞，－)∪(－，＋∞)解析：选C　由题意知方程ax2－bx－1＝0的根分别为x1＝2，x2＝3，所以由根与系数的关系得2＋3＝5＝，2×3＝6＝－，解得a＝－，b＝－，则不等式x2－bx－a<0即为x2＋x＋<0，解得－f(2)＝>0，因此g(0)0，此时方程有两个不等实根，且两个实根的积等于<0，方程恰有一正、一负的实根，可知方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根；另一方面，由方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根不能推知a<0，如当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0满足至少有一个负数根．综上所述，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．4．设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为(　　)A．{a|11，由此解得a≥2.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋2012·(a5－1)＝1，(a2008－1)3＋2012(a2008－1)＝－1，则下列结论正确的是(　　)A．S2012＝2012，a2008a5C．S2012＝－2012，a2008a5解析：选A　结合等式的结构形式，构造函数f(x)＝x3＋2012x，因为f′(x)＝3x2＋2012的值恒大于0，所以函数f(x)是R上的增函数．因为f(a5－1)>f(a2008－1)，所以a5－1>a2008－1.所以a20080恒成立，所以x＋y＝0，即a5＋a2008＝2.所以S2012＝＝＝2012.二、填空题52 6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，又(x＋y)·＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：47．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，要使f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)的值域内的值即可．∵f(x)的值域为[1,4)，∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2.答案：[－1,2)8．已知函数f(x)＝，a∈R，若方程f2(x)－f(x)＝0共有7个实数根，则a＝________.解析：由f2(x)－f(x)＝0知f(x)＝1或f(x)＝0.当f(x)＝1时，若|lg|x||＝1，则lg|x|＝1或lg|x|＝－1，解得x1＝10，x2＝－10，x3＝，x4＝－.当f(x)＝0时，若|lg|x||＝0，则lg|x|＝0，x5＝1，x6＝－1，要使f2(x)－f(x)＝0有7个根，则a＝0或a＝1.答案：1或09．若数列{an}的通项公式为an＝×n－3×n＋n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________.解析：令x＝n，则00，函数f(c)在区间(1－，1)上是增函数；52 当10，函数f(c)在区间(1,1＋)上是增函数；当c>1＋时，f′(c)<0，函数f(c)在区间(1＋，＋∞)上是减函数．函数f(c)＝的图象如图所示．所以f(c)≥f(1－)＝－2＋2或f(c)≤f(1＋)＝－2－2，所以a的取值范围是(－∞，－2－2]∪[－2＋2，＋∞)．11．设P是椭圆＋y2＝1(a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值．解：依题意可设P(0,1)，Q(x，y)，则|PQ|＝.又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2)．|PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2＝(1－a2)2－＋1＋a2，因为|y|≤1，a>1，若a≥，则≤1，当y＝时，|PQ|取最大值；若10，x>0)，(1)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在[m，n]上的值域也是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．解：(1)由－≤2x得≤2x＋.∵x>0，52 ∴当x＝时，min＝2，∴≤2，∴a≥，∴实数a的取值范围是.(2)∵f′(x)＝>0(x>0)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又∵f(x)在[m，n]上的值域也是[m，n](m≠n)，∴成立，即方程f(x)＝x在(0，＋∞)上有两个不同的解，即－＝x在(0，＋∞)上有两个不同的解，即x2－x＋1＝0在(0，＋∞)上有两个不同的解x1，x2，∴解得00且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．a>1B．00且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当01时，因为函数y＝ax(a>1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a>1.6．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，集合B＝{x|x2－ax＋a－1<0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若綈q是綈p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)A．00且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．解：当a>1时，y＝ax在[1,2]上递增，故a2－a＝，得a＝；当00时，需x－b恒为非负数，即a>0，b≤0.②当a<0时，需x－b恒为非正数．又∵x∈[0，＋∞)，∴不成立．综上所述，由①②得a>0且b≤0.答案：a>0且b≤09．若数列{an}满足a1a2a3…an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．解析：∵a1a2a3…an＝n2＋3n＋2，①∴当n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2＋3(n－1)＋2＝n(n＋1)．②①÷②得，an＝＝＝1＋(n≥2)，又a1＝12＋3×1＋2＝6，不满足an＝1＋，∴数列{an}的通项公式为an＝答案：an＝10．非负整数a，b，满足|a－b|＋ab＝1，记集合M＝{(a，b)}，则集合M中元素的个数为________．解析：由非负整数a，b满足|a－b|＋ab＝1，得或即或即M＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)}，所以集合M中元素的个数为3.52 答案：3三、解答题11．在等差数列{an}中，a1＋a3＝－8，a2＋a4＝－14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的公差为d，∵a1＋a3＝－8，a2＋a4＝－14，∴解得a1＝－1，d＝－3.∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－1－3(n－1)＝－3n＋2.(2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，∴bn＝3n－2＋cn－1，∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)＝＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)．∴当c＝1时，Sn＝＋n＝；当c≠1时，Sn＝＋＝＋.综上，数列{bn}的前n项和Sn＝12．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：(1)设函数y＝f(x)的图象上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则即又∵点Q(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x.即g(x)＝－x2＋2x.(2)由g(x)≥f(x)－|x－1|，可得2x2－|x－1|≤0.当x≥1时，2x2－x＋1≤0，此时不等式无解；当x<1时，2x2＋x－1≤0，∴－1≤x≤.52 因此，原不等式的解集为[－1，]．(3)h(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1.①当λ＝－1时，h(x)＝4x＋1在[－1,1]上是增函数，故λ＝－1适合题意．②当λ≠－1时，对称轴的方程为x＝.当λ<－1时，≤－1，解得λ<－1；当λ>－1时，≥1，解得－1<λ≤0.综上所述，λ≤0.故实数λ的取值范围为(－∞，0]．13．已知焦点在y轴上的椭圆C1：＋＝1(a>b>0)经过点A(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆C1的方程；(2)过抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于不同的两点M，N，记线段MN与PA的中点分别为G，H，当直线GH与y轴平行时，求h的最小值．解：(1)由题意知解得所以椭圆C1的方程为＋x2＝1.(2)设P(t，t2＋h)，由y′＝2x，得抛物线C2在点P处的切线的斜率为k＝y′|x＝t＝2t，所以直线MN的方程为y＝2tx－t2＋h，代入椭圆方程得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，化简得4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0，又直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，故Δ＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0，　①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN中点的横坐标为x0，则x0＝＝，设线段PA中点的横坐标为x3，则x3＝，由已知得x0＝x3，即＝，52 显然t≠0，h＝－(t＋＋1)，当t>0时，t＋≥2，当且仅当t＝1时取得等号，此时h≤－3，不符合①式，故舍去；当t<0时，(－t)＋(－)≥2，当且仅当t＝－1时取得等号，此时h≥1，满足①式．综上，h的最小值为1.数学思想专项训练(四)　数形结合思想方法概述适用题型　　所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也是将抽象思维与形象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质．它是数学的规律性与灵活性的有机结合.　　数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.一、选择题1．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　)A.　　　　　　B.C.D.解析：选A　定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点，解得这个点的坐标是52 .2．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)A．1B．2C.D.解析：选C　因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示，设＝c，＝a，＝b，＝a－c，＝b－c，即AC⊥BC，又OA⊥OB，所以O，A，C，B四点共圆．当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.3．设点P(x，y)，变量x、y满足约束条件点Q的坐标为(4,3)，O为坐标原点，λ||＝·，则λ的最大值是(　　)A.B.C．8D.解析：选D　λ||＝·，即5λ＝4x＋3y，设z＝4x＋3y，它表示斜率为－，纵截距为z的一组直线系．画出不等式组所表示的可行域，如图，由图可知，当直线经过可行域上的点M时，纵截距z最大，即z取得最大值，此时λ也取得最大值．容易求得点M的坐标为，则zmax＝，即5λ＝，所以λ的最大值是.4．已知f(x)＝则∀x∈[－1,1]，|f(x)|≥ax成立的充要条件是(　　)A．a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)B．a∈[－1,0]52 C．a∈[0,1]D．a∈[－1,0)解析：选B　当x∈[－1,0]时，原不等式可变为|x2－2|≥ax，即2－x2≥ax，f(x)＝图象如图所示；当x∈(0,1]时，原不等式可变为|3x－2|≥ax，g(x)＝|3x－2|的图象如图所示，当|f(x)|≥ax恒成立时，由图可知a的取值范围是[－1,0]．5．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．解析：设切点为A，如图所示，切线AP、PB互相垂直，又半径OA垂直于AP，所以△OPA为等腰直角三角形，可得a＝，所以e＝＝.答案：9．已知实数x，y满足，若不等式a(x2＋y2)≥(x＋y)2恒成立，则实数a的最小值是________．解析：作出满足题中方程组的可行域，如图阴影部分所示：由题可得a≥＝＝1＋.设＝t(t表示过原点和点(x，y)的直线的斜率)，则t∈[2,4]，t＋∈，故max＝，所以a≥，即amin＝.答案：52 10．设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，则实数a的取值范围是________．解析：由f(x)≤g(x)，得a＋≤x＋1，变形得≤x＋1－a，令y1＝，y2＝x＋1－a，y1变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；y2表示斜率为，纵截距为1－a的平行直线系．若不等式成立，则直线在半圆上方，∴解得：a≤－5.答案：(－∞，－5]三、解答题11．求函数f(θ)＝的最大值．解：可以与两点连线的斜率联系起来，它实际上是点P(cosθ，sinθ)与点A(－，0)连线的斜率，而点P(cosθ，sinθ)在单位圆上移动，问题变为：求单位圆上的点与A(－，0)连线斜率的最大值．如图，显然，当P点移动到B点(此时，AB与圆相切)时，AP的斜率最大，最大值为tan∠BAO＝＝1.12．已知A(1,1)为椭圆＋＝1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值．52 解：由＋＝1可知a＝3，b＝，c＝2，左焦点F1(－2,0)，右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|.如图，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝＝，知－≤|PA|－|PF2|≤.当P在AF2的延长线上的P2处时，取右“＝”；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“＝”，即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为，－.于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋，最小值是6－.13．(2013·洛阳统考)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位：元)与产品净重x(单位：克)的关系式为y＝求这批产品平均每个的利润．解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n.∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴＝0.300，∴n＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，0.075×2＝0.150.∴其相应的频数分别为120×0.100＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18.52 ∴这批产品平均每个的利润为(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)．多题一法专项训练(一)　配方法方法概述适用题型　　配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”的技巧，通过配方找到已知和未知的联系从而化繁为简．何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”，“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.在高考中配方法常适用的类型有以下几种：(1)二次函数的最值问题(2)同角三角函数基本关系式中平方关系(3)平面向量的数量积的应用(4)余弦定理(5)圆的方程(6)等比数列的性质一、选择题1．在正项等比数列{an}中，a1·a5＋2a3·a5＋a3·a7＝25，则a3＋a5为(　　)A．5　　　　　　　　　　　B．25C．15D．10解析：选A　∵a1a5＝a，a3a7＝a，∴a＋2a3·a5＋a＝25.即(a3＋a5)2＝25.又an>0，∴a3＋a5＝5.2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]解析：选C　∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴函数图象的对称轴为x0＝1，最小值为2，要使最大值为3，最小值为2，则1≤m≤2.3．(2013·浙江高考)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A.B.C.D.解析：选D　由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF152 |即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，因此对于双曲线有a＝，c＝，所以C2的离心率e＝＝.4．函数y＝log(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是(　　)A．B.C．D.解析：选D　令u＝－2x2＋5x＋3＝－2(x－)2＋，又u>0，知－3时，ymin＝f(3)＝9－5a＝－2，解得a＝，但<3，故舍去．综上所述，a＝±2.答案：±27．(2013·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．解析：因为＝＝＝＝＝≤2，当且仅当＝－时取“＝”，故的最大值为2.答案：28．已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为________．解析：设长方体长，宽，高分别为x，y，z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：长方体所求对角线长为：＝＝＝5.答案：59．设方程x2＋kx＋2＝0的两实根为p，q，若2＋2≤7成立，则实数k的取值范围为________．解析：方程x2＋kx＋2＝0的两实根为p，q，由根与系数的关系得：p＋q＝－k，pq＝2，2＋2＝＝＝52 ＝≤7，解得－≤k≤.又Δ≥0，∴k≥2或k≤－2.∴k的取值范围是－≤k≤－2或2≤k≤.答案：[－，－2]∪[2，]三、解答题10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.∴(b＋c)2－3bc＝36又b＋c＝8，所以bc＝.由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为××＝.11．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x(元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值．52 解：(1)依题意y＝∴y＝此函数的定义域为(0,40)．(2)y＝当0b>0)的离心率为，直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设直线l：y＝x2＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求的最大值及取得最大值时m的值．解：(1)e＝＝，∴＝，　①矩形ABCD面积为8，即2a·2b＝8，　②由①②解得：a＝2，b＝1，∴椭圆M的标准方程是＋y2＝1.(2)由得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，由Δ＝64m2－20(4m2－4)>0，得－0)，则f(4)的值为(　　)A.2lg2　　　　　　　　　　B.lg2C.lg2D.lg4解析：选C　令t＝x3，(t>0)，则x＝.52 ∴f(t)＝lg＝lgt.∴f(4)＝lg4＝lg2.2．已知函数f(x)＝＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为(　　)A．2B．2＋2C．2－2D．2解析：选B　f(x)＝＋2(x－1)＋2，令x－1＝t，则f(t)＝＋2t＋2，(t>0)，∴f(t)≥2＋2＝2＋2.当且仅当＝2t时等号成立，故f(x)的最小值为2＋2，当且仅当＝2(x－1)，即x＝＋1时等号成立．3．已知sinx＋siny＝，则＋siny－cos2x的取值范围是(　　)A.B．C.D.解析：选D　＋siny－cos2x＝－sinx－cos2x＝(sinx－)2＋.又siny＝－sinx，∴－1≤－sinx≤1，解得－≤sinx≤1，∴≤(sinx－)2＋≤.即所求取值范围为[，]．4．函数y＝sinx·cosx＋sinx＋cosx的最大值为(　　)A.＋B.－C．2D.52 解析：选A　令t＝sinx＋cosx，t∈[－，]，则y＝t2＋t－＝(t＋1)2－1，t＝时，ymax＝＋.5．已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是(　　)A．(2＋2，＋∞)B．(－∞，2＋2)C．(0,2＋2)D．(2＋2，8)解析：选B　令m＝2x(m>1)，则问题转化为函数f(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x轴的上方，即Δ＝t2－4(t＋1)<0或解得t<2＋2.即实数t的取值范围是(－∞，2＋2)．二、填空题6．已知f(x)＝，则f(x)的最大值为________．解析：f(x)＝＝＝2sinx(1－sinx)＝－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋.因为sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝时，f(x)取得最大值是.答案：7．设f(x2＋1)＝loga(4－x4)(a>1)，则f(x)的值域是________．解析：设x2＋1＝t(t≥1)，∴f(t)＝loga[－(t－1)2＋4]．∴值域为(－∞，loga4]．答案：(－∞，loga4]8．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列的通项公式an＝________.解析：由已知变形为－＝－1，令bn＝.∴{bn}是以－1为首项，－1为公差的等差数列．52 则b1＝－1，bn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n.∴an＝－.答案：－9．已知不等式>ax＋的解集是(4，b)，则a＝________，b＝________.解析：令＝t，则t>at2＋，即at2－t＋<0.其解集为(2，)，故解得a＝，b＝36.答案：　36三、解答题10．求函数y＝3－4的值域．解：由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为()2＋()2＝4，故可设(θ∈[0，])则y＝3×2sinθ－4×2cosθ＝6sinθ－8cosθ＝10sin(θ－φ)(其中φ∈(0，)，cosφ＝，sinφ＝)．因为θ∈，所以θ－φ∈.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×＝－8；当θ＝时，函数取得最大值10sin(－φ)＝10cosφ＝10×＝6.综上，函数的值域为[－8,6]．52 11．已知函数y＝－sin2x＋asinx－＋的最大值为2，求a的值．解：令t＝sinx，问题就转化为二次函数在区间上的最值问题．令t＝sinx，t∈[－1,1]，所以y＝－2＋(a2－a＋2)，对称轴为t＝.(1)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，ymax＝(a2－a＋2)＝2，得a＝－2或a＝3(舍去)．(2)当>1，即a>2时，函数y＝－2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由ymax＝－1＋a－a＋＝2，得a＝.(3)当<－1，即a<－2时，函数y＝－2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由ymax＝－1－a－a＋＝2，得a＝－2(舍去)．综上，可得a＝－2或a＝.12．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值．解：由已知A＋C＝2B，可得由A＋C＝120°，设代入已知等式得：＋＝＋＝＋＝＝＝－2，解得：cosα＝，即：cos＝.52 多题一法专项训练(三)　待定系数法方法概述适用题型　　要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法．其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)＝g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)＝g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.　　在高考中待定系数法应用广泛，常见的类型有以下几种：(1)函数解析式的求法；(2)圆的方程的求法；(3)圆锥曲线方程的求法；(4)等差、等比数列的基本运算；(5)已知三角函数性质求参数.(6)二项式定理中求参数问题.一、选择题1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点(－，－3)，则双曲线的方程为(　　)A.－y2＝1　　　　　　　B．x2－＝1C．－＋y2＝1D．－＋y2＝1解析：选C　设所求的双曲线方程为y2－4x2＝k，因为双曲线过点(－，－3)，所以(－3)2－4(－)2＝k，得k＝1，所以双曲线的方程为－＋y2＝1.2．在等差数列{an}中，a1＝1，a4＝10，若ak＝148，则k等于(　　)A．47B．48C．49D．50解析：选D　设等差数列的公差为d，∵a1＝1，a4＝10，∴d＝3.∴148＝1＋3(k－1)，∴k＝50.3．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于(　　)A.B.C．2D．9解析：选C　∵x<1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，∴4a＝4＋2a，解得a＝2.52 4．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)A．－3B．－5C．6D．5解析：选C　由得a＝－3，b＝－2.∴ab＝6.5．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，当(λm＋n)⊥(2n＋m)时，实数λ的值为(　　)A.B．－C．－D.解析：选C　由已知得|m|＝，|n|＝，m·n＝11，∵(λm＋n)⊥(2n＋m)，∴(λm＋n)·(2n＋m)＝λm2＋(2λ＋1)m·n＋2n2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－.6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，f＝－，则f(0)＝(　　)A．－B．－C.D.解析：选C　由题意可知，此函数的周期T＝2(－)＝，故＝，∴ω＝3，f(x)＝Acos(3x＋φ)．f＝Acos＝Asinφ＝－.又由题图可知f＝Acos＝0，∴f(0)＝Acosφ＝.二、填空题7．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.解析：因为f(－x)＝－x(e－x＋aex)，f(x)是偶函数，所以－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，52 ex＋ae－x＋e－x＋aex＝0，(1＋a)ex＋(1＋a)e－x＝0，(1＋a)(ex＋e－x)＝0，所以1＋a＝0，即a＝－1.答案：－18．已知圆经过原点，圆心在第三象限且在直线y＝x上，若圆在y轴上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．解析：依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，令x＝0，得(y－a)2＝a2，此时在y轴上截得的弦长为2|a|，由已知得2|a|＝2，故a＝±1，由圆心在第三象限，得a＝－1，于是，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.答案：(x＋1)2＋(y＋1)2＝29．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－)2＋y2＝4相切，则该双曲线的离心率等于________．解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，∵渐近线与圆(x－)2＋y2＝4相切，∴＝2，∴b2＝4a2，c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2.e＝＝.答案：10．已知(1＋ax)5＝1＋10x＋bx2＋…＋a5x5，则b＝________.解析：1,10，b分别是展开式中常数项、一次项和二次项的系数，10＝Ca，解得a＝2，二次项系数b＝C22＝40.答案：40三、解答题11．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；52 (2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．解：(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，d≠0.由a＋a＝a＋a知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝na1＋d＝n2－6n.(2)因为＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数．又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.12．一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．解：如图所示，设动圆半径为R，已知圆的圆心分别为O1，O2，将两圆方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，故O1(－3,0)，r1＝2；O2(3,0)，r2＝10.当⊙M与⊙O1外切时，有|O1M|＝R＋2，①当⊙M与⊙O2内切时，有|O2M|＝10－R，②将①②两式的两边分别相加，得|O1M|＋|O2M|＝12，又|O1O2|＝6，所以|O1M|＋|O2M|>|O1O2|，由椭圆的定义可知，动圆圆心M的轨迹是一个以O1，O2为焦点，长轴长为12的椭圆．设其方程为＋＝1(a>b>0)，则有解得故椭圆方程为＋＝1.所以动圆圆心的轨迹方程是＋＝1，其轨迹是一个以O1(－3,0)，O2(3,0)为焦点，长轴长为12的椭圆．13．(2013·武汉模拟)已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：52 x0－14y－2－21(1)求C1，C2的标准方程；(2)设斜率不为0的动直线l与C1有且只有一个公共点P，且与C2的准线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设C1，C2的标准方程分别为：＋＝1(a>b>0)，x2＝2py.将点(－1，)和(4,1)代入抛物线方程中得到的解相同，∴2p＝16，∴点(0，－2)和(，－2)在椭圆上，代入椭圆方程得a＝2，b＝2，故C1，C2的标准方程分别为＋＝1，x2＝16y.(2)设直线l的方程为x＝my＋n，将其代入＋＝1中，消去x并化简整理得，(1＋2m2)y2＋4mny＋2n2－8＝0.∵直线l与C1相切，∴Δ＝16m2n2－4(1＋2m2)(2n2－8)＝0，∴n2＝4(1＋2m2)，设切点P(x0，y0)，则y0＝－＝－，x0＝my0＋n＝＝.又直线l与C2的准线y＝－4的交点为Q(n－4m，－4)，∴以PQ为直径的圆的方程为(x－)(x－n＋4m)＋(y＋)(y＋4)＝0，化简并整理得x2－x＋(4m－n)x＋(y＋2)＋(y＋2)2＝0，故存在定点M(0，－2)符合题意．多题一法专项训练(四)　构造法方法概述适用题型　　　　常见的知识类型有以下几种：52 构造法就是通过对式子或图形，通过转化、构造为熟悉的数学模型后，将抽象问题更加具体化、易解化，其实质体现了化归与转化思想，在高考中，构造法主要应用于立体几何、函数与方程、导数、数列等方面，多以解答题出现.(1)函数与方程中零点的判断(2)立体几何中线面位置关系的判断(3)递推关系求通项问题(4)利用导数构造函数证明不等式或解决不等式恒成立问题.一、选择题1．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m，n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是(　　)A．①或②　　　　　　　　B．①或③C．只有②D．②或③解析：选B　构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．因此，可排除A、C、D，选B.2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内(　　)A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根解析：选C　求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为(　　)A.B.C.D.解析：选C　∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，∴{}是以1为首项，为公差的等差数列．52 ∴＝＋(n－1)×＝＋，∴an＝(n∈N*)．4．如图所示，已知三棱锥PABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥PABC的体积为(　　)A．40B．80C．160D．240解析：选C　因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，易知三棱锥PABC的各边分别是此长方体的面对角线．不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得⇒从而知VPABC＝VAEBGFPDC－VPAEB－VCABG－VBPDC－VAFPC＝VAEBGFPDC－4VPAEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3解析：选D　f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.二、填空题6．若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．解析：设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，由于a>3，则在(0,2)上f′(x)<0，f(x)为减函数，而f(0)＝1>0，f(2)＝9－4a<0，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．答案：17．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤4，则x2＋(y－6)2的最小值是________．52 解析：由|x|＋|y|≤4可得到不等式组其对应的区域为边长为4的正方形，即图中阴影部分(包括边界)，x2＋(y－6)2表示定点M(0,6)与区域上的点(x，y)的距离的平方，易得x2＋(y－6)2的最小值是4.答案：48．若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________．解析：由4x2＋9y2≥2kxy，且x>0，y>0得2k≤，又≥＝12，当且仅当4x2＝9y2“＝”成立，∴2k≤12.则kmax＝3.答案：3三、解答题9．求数列{an}的通项公式：(1)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an－2(n∈N*)；(2)已知数列{an}满足：a1＝3，且an＋1＝(n∈N*)．解：(1)由已知，可得an＋1＝3an－2，所以an＋1－1＝3(an－1)．故{an－1}是一个首项为a1－1＝1，公比为3的等比数列．所以an－1＝1×3n－1，故an＝3n－1＋1.(2)由已知，可得当n∈N*时，an＋1＝，两边取倒数，得＝＝＋2，即－＝2，所以{}是一个首项为＝，公差为2的等差数列，其通项公式为＝＋(n－1)×2＝2n－.所以数列{an}的通项公式为an＝＝.10．设函数f(x)＝x－(x＋1)ln(x＋1)(x>－1)．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当n>m>0时，(1＋n)m<(1＋m)n.52 解：(1)f′(x)＝1－ln(x＋1)－＝－ln(x＋1)，当f′(x)≥0，即－10)，则g′(x)＝＝由(1)知，f(x)＝x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)上单调递减，所以x－(1＋x)ln(1＋x)m>0，所以g(n)－1时，证明：f(x)>；(2)当a>ln2－1且x>0时，证明：f(x)>x2－2ax.证明：(1)当x>－1时，要使f(x)>，即ex－1>＝2x－1，当且仅当ex>2x，即ex－2x>0.令g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，即ex－2＝0，解得x＝ln2.当x∈(－1，ln2]时，g′(x)＝ex－2<0，故函数g(x)在(－1，ln2]上单调递减；当x∈[ln2，＋∞)时，g′(x)＝ex－2>0，故函数g(x)在[ln2，＋∞)上单调递增．所以g(x)在(－1，＋∞)上的最小值为g(ln2)＝eln2－2ln2＝2(1－ln2)>0，所以在(－1，＋∞)上有g(x)≥g(ln2)>0，即ex>2x.故当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)>.(2)欲证f(x)>x2－2ax，即ex－1>x2－2ax，也就是ex－x2＋2ax－1>0，可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，则u′(x)＝ex－2x＋2a.52 令h(x)＝ex－2x＋2a，则h′(x)＝ex－2.当x∈(－∞，ln2)时，h′(x)<0，函数h(x)在(－∞，ln2)上单调递减；当x∈(ln2，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(ln2，＋∞)上单调递增．所以h(x)的最小值为h(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a>0.所以u′(x)＝h(x)>0，即u(x)在R上为增函数，故u(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以u(x)>u(0)．而u(0)＝0，所以u(x)＝ex－x2＋2ax－1>0.即当a>ln2－1且x>0时，f(x)>x2－2ax.12．设数列{an}的前n项和Sn＝an－×2n＋1＋，n∈N*.(1)求首项a1与通项an；(2)设Tn＝，n∈N*，证明：i<.解：(1)由Sn＝an－×2n＋1＋，n∈N*①得a1＝S1＝a1－×4＋，所以a1＝2.再由①有Sn－1＝an－1－×2n＋(n≥2)．②将①和②相减得an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)－×(2n＋1－2n)，(n≥2)．整理得an＋2n＝4(an－1＋2n－1)，(n≥2)．因而数列{an＋2n}是首项为a1＋2＝4，公比为4的等比数列，即an＋2n＝4×4n－1＝4n.因而an＝4n－2n，n∈N*.(2)证明：将an＝4n－2n代入①得Sn＝×(4n－2n)－×2n＋1＋＝×(2n＋1－1)(2n＋1－2)＝×(2n＋1－1)(2n－1)，Tn＝＝×＝×，52 所以i＝＝×<.创新问题专项训练（一）一、选择题1.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是(　　)解析：选D　依题意，直线l从l0开始按逆时针方向匀速转动，开始一段时间阴影部分的面积增加的比较慢，中间一段时间阴影部分的面积增加的比较快，最后一段时间阴影部分的面积增加的又比较慢，因此结合各选项知，选D.2．已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为(　　)A．－8　　　　　　　　　B．－6C．8D．6解析：选D　|a|＝＝5，|b|＝＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cosθ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝＝＝.故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝5×2×＝6.3．设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足14；(4)b4>32；(5)b2·b4＝256.其中真命题的个数为(　　)A．2B．3C．4D．5解析：选C　若{an}是公差为d的等差数列，则{2an}是公比为2d的等比数列，故(1)正确；a3>a1⇒公差d>0⇒公比2d>1，(2)正确；a1＋a3＝2a2，由15⇒a2>2⇒b2＝2a2>4，(3)正确；10，>0，x>0，令y′>0，则1－lnx>0，所以00，a≠1)的图象经过第三象限的概率是________．解析：(b，a)的所有可能情况有：，，(－1,3)，(－1,4)；，，(1,3)，(1,4)；，，(－2,3)，(－2,4)；，，(2,3)，(2,4)，共16种．由于函数f(x)的图象经过第三象限，因此，01，b<0，因此满足条件的(b，a)有：(－1,3)，(－1,4)，(－2，)，(－2，)，(－2,3)，(－2,4)，共6种．根据古典概型的概率计算公式可得P＝＝.答案：8.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．解析：观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A对应的数为3，点B对应的数为6.故应填3、6、3.答案：3、6、39．已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，如果数列{bn}：b1，b2，b3，…，bn满足b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，其中k＝2,3，…，n，则称{bn}为{an}的“衍生数列”．若数列{an}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{an}为________；若n为偶数，且{an}的“52 衍生数列”是{bn}，则{bn}的“衍生数列”是________．解析：由b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{an}为2,1,4,5.由已知，b1＝a1－(a1－an)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－an)，….因为n是偶数，所以bn＝an＋(－1)n(a1－an)＝a1.设{bn}的“衍生数列”为{cn}，则ci＝bi＋(－1)i(b1－bn)＝ai＋(－1)i·(a1－an)＋(－1)i(b1－bn)＝ai＋(－1)i(a1－an)＋(－1)i·(an－a1)＝ai，其中i＝1,2,3，…，n.则{bn}的“衍生数列”是{an}．答案：2,1,4,5　{an}三、解答题10．设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a＝an·an＋2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．(1)若数列{an}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；(2)若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列．解：(1)由题意得a2，a4，a6，a8，…成等比数列，且公比q＝()＝，所以a2n＝a2qn－1＝()n－4.(2)由数列{an}是“J4型”数列，得a1，a5，a9，a13，a17，a21，…成等比数列，设公比为t.由数列{an}是“J3型”数列，得a1，a4，a7，a10，a13，…成等比数列，设公比为α1；a2，a5，a8，a11，a14，…成等比数列，设公比为α2；a3，a6，a9，a12，a15，…成等比数列，设公比为α3.则＝α＝t3，＝α＝t3，＝α＝t3.所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t＝α.于是a3k－2＝a1αk－1＝a1()(3k－2)－1，a3k－1＝a5αk－2＝a1tαk－2＝a1α＝a1()(3k－1)－1，a3k＝a9αk－3＝a1t2αk－3＝a1α＝a1()3k－1，所以an＝a1()n－1，故{an}为等比数列．11．春节前，有超过20万名广西，52 四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾驶人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示．(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法；(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的被抽取了5名，则四川籍的应抽取几名？(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率．解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100名，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40名．设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得＝，解得x＝2，即四川籍的应抽取2名．(3)用a1，a2，a3，a4，a5表示被抽取的广西籍驾驶人员，b1，b2表示被抽取的四川籍驾驶人员，则所有基本事件有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，a5}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a2，a5}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，a5}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a4，a5}，{a4，b1}，{a4，b2}，{a5，b1}，{a5，b2}，{b1，b2}，共21个，其中2名驾驶人员都是四川籍的基本事件有{b1，b2},1个．所以抽取的2名驾驶人员都是四川籍的概率P1＝，至少有1名驾驶人员是广西籍的概率P＝1－P1＝1－＝.创新问题专项训练（二）一、选择题1．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{x|x2－ax－1＝0，a∈R}，B＝{x||x2＋bx＋1|＝1，b∈R}，设S＝{b|A*B＝1}，则C(S)等于(　　)A．4　　　　　　　　　　B．3C．2D．1解析：选B　显然集合A的元素个数为2，根据A*B＝1可知，集合B的元素个数为1或3，即方程|x2＋bx＋1|＝1有1个根或有3个根．结合函数y＝|x2＋bx＋1|的图象可得，b52 ＝0或＝－1，即b＝0或b＝±2.2．已知集合A＝{(x，y)||x－2|＋|y－3|≤1}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2＋Dx＋Ey＋F≤0，D2＋E2－4F>0}，若集合A，B恒满足“A⊆B”，则集合B中的点所形成的几何图形面积的最小值是(　　)A.πB．πC.πD.π解析：选B　集合A可以看作是由区域{(x，y)||x|＋|y|≤1}向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的，这是一个边长为的正方形区域，集合B是一个圆形区域，如果A⊆B且集合B中的点形成的几何图形的面积最小，则圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是|x－2|＋|y－3|＝1所表示正方形的外接圆，其面积是π×12＝π.3．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B　由于线性回归方程恒过样本点的中心(，)，则由“x0＝，y0＝”一定能推出“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”，反之不一定成立．4．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是(　　)A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝x·ex解析：选D　由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f″(x)的正负．对于A，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；对于B，f′(x)＝52 －2，f″(x)＝－，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；对于C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；对于D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝2ex＋xex，在x∈(0，)上，恒有f″(x)>0.5．定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f(x)的同值变换的是(　　)A．f(x)＝(x－1)2，T将函数f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)＝2x－1－1，T将函数f(x)的图象关于x轴对称C．f(x)＝2x＋3，T将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称D．f(x)＝sin(x＋)，T将函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称解析：选B　选项B中，f(x)＝2x－1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f(x)的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确．二、填空题6．对于非空实数集A，记A*＝{y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M，P，满足M⊆P.给出以下结论：①P*⊆M*；②M*∩P≠∅；③M∩P*＝∅.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．解析：对于①，由M⊆P得知，集合M中的最大元素m必不超过集合P中的最大元素p，依题意有P*＝{y|y≥p}，M*＝{y|y≥m}，又m≤p，因此有P*⊆M*，①正确；对于②，取M＝P＝{y|y<1}，依题意得M*＝{y|y≥1}，此时M*∩P＝∅，因此②不正确；对于③，取M＝{0，－1,1}，P＝{y|y≤1}，此时P*＝{y|y≥1}，M∩P*＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①.答案：①7．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则[x0]等于________．解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝＋>0，即函数f(x)在(0，＋∞)52 上单调递增．由f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.答案：28．某同学为研究函数f(x)＝＋(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP＝x，则AP＋PF＝f(x)．请你参考这些信息，推知函数f(x)的极值点是________；函数f(x)的值域是________．解析：显然当点P为线段BC的中点时，A，P，F三点共线，此时AP＝PF，且函数f(x)取得最小值，函数f(x)的图象的对称轴为x＝；当x∈[0，]时，函数f(x)单调递减，且值域为[，＋1]；当x∈[，1]时，函数f(x)单调递增，且值域为[，＋1]，∴函数f(x)的值域为[，＋1]．答案：x＝　[，＋1]9.(1)如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝()x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．(2)若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b，则称直线l：y＝kx＋b为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x2，φ(x)＝2elnx(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为________．解析：(1)由A点的纵坐标为2，得点A的横坐标是2＝，由矩形的边平行于坐标轴，得B点的纵坐标是2，从而横坐标是22＝4，所以C点的横坐标是4，纵坐标是()4＝，所以点D的横坐标等于A点的横坐标，点D的纵坐标等于C点的纵坐标，即D52 点的坐标是(，)．(2)容易观察到h(x)和φ(x)有公共点(，e)，又(x－)2≥0，即x2≥2x－e，所以猜想h(x)和φ(x)间的隔离直线为y＝2x－e，下面只需证明2elnx≤2x－e恒成立即可，构造函数λ(x)＝2elnx－2x＋e.由于λ′(x)＝(x>0)，即函数λ(x)在区间(0，)上递增，在(，＋∞)上递减，故λ(x)≤λ()＝0，即2elnx－2x＋e≤0，得2elnx≤2x－e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y＝2x－e.答案：(1)(，)(2)y＝2x－e三、解答题10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c和g(x)＝ax2＋bx＋c·lnx(abc≠0)．(1)证明：当a<0时，无论b为何值，函数g(x)在定义域内不可能总为增函数；(2)在同一函数图象上取任意两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点C(x0，y0)，记直线AB的斜率为k，若f(x)满足k＝f′(x0)，则称其为“K函数”．判断函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝ax2＋bx＋c·lnx(abc≠0)是否为“K函数”？并证明你的结论．解：(1)假设g(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，则有g′(x)＝2ax＋b＋＝>0对于一切x>0恒成立，从而必有2ax2＋bx＋c>0对于一切x>0恒成立．又a<0，由二次函数的图象可知：2ax2＋bx＋c>0对于一切x>0恒成立是不可能的．因此当a<0时，无论b为何值，函数g(x)在定义域内不可能总为增函数．(2)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是“K函数”，g(x)＝ax2＋bx＋c·lnx(abc≠0)不是“K函数”．证明如下：对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，k＝＝＝a(x2＋x1)＋b＝2ax0＋b.又f′(x0)＝2ax0＋b，故k＝f′(x0)．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c是“K函数”．对于函数g(x)＝ax2＋bx＋c·lnx(abc≠0)(x>0)，不妨设x2>x1>0，52 则k＝＝＝2ax0＋b＋.又g′(x0)＝2ax0＋b＋，若g(x)为“K函数”，则必满足k＝g′(x0)，即有2ax0＋b＋＝2ax0＋b＋，也即＝(c≠0)，所以＝.设t＝，则00，所以s(t)在t∈(0,1)上为增函数，s(t)