反思引发探究 探究带来惊喜.pdf

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1、·40·中学教研(数学)反思引发探究探究带来惊喜●孙小龙(如皋市第一中学江苏如皋226500)“学起于思，思源于疑”，质疑是反思的基础，因此直线l与椭圆+y=1相切．反思是质疑的深化．高中数学教学中，当解完一道题后，教师应引领学生进行有效的反思，反思解题②猜想：若点H在定圆P上，则当点C在(0，过程的方方面面．反思过程中不对学生的反思作任1)时，H(一1，1)；当点C在(0，一1)时，H(一1，何限制，充分保护学生反思的积极性，鼓励学生对一1)，故圆心P必在轴上．自己的想法进行探究，从解题过程中产生更多的思当点c在(1，)时，日(0，)；当点c在考，从成败中品味数学的苦

2、与乐．长期坚持下来，学生就会形成反思的好习惯，也会形成适合自己的一(1，一)时，日(o，一)，故圆心P必在y轴上．套反思方法，学生分析、解决问题的能力就会在不知不觉中得到提高．下面谨以教学过程中一道联考综上所述，圆心P必为坐标原点0，且半径为题的反思引发的探究为例，把探究带来的惊喜与大，从而定圆P的方程为：+Y=2．下面证明点家共享．H在定圆上．例1在平面直角坐标系xOy中，设A(一1，过点A(一1，0)且与直线z：眦+2ny一2=00)，B(1，0)，c(m，n)，且AABC的周长为2+2．(其中m≠0)垂直的直线l的方程为：Y=(1)求证：点C在一个椭圆上运动，并求

3、出该(+1)，联立直线1与直线Z的方程解得椭圆的标准方程．(2)设直线z：+2ny一2=0．，①判断直线z与第(1)小题中椭圆的位置关系，并说明理由；Lm+斗，②过点A作直线z的垂线，垂足为点日，证明：从而。=【】。+【]，点在定圆上，并求出该定圆的方程．(2014年江苏省重点高中高三联考试题)其中2n：2一m．贝ll分析(1)椭圆的标-准万程力af+Y=1．o／-／~=lm十斗17,J(2)①直线z与椭圆+=1相切，下证之：4(m+m一2)+2(m+2)(2一m(m+4—2m)因为点c(m，n)在椭圆冬+y2=1上，所以4(m一1)(m+2)+2(m+2)(2一m(m

4、+2)(m一2)—+2‘：1·．2(，+2)(m一4m+4)’(m+2)(m一2)～’fmx+2ny一2=0，因此点日在定圆+y2=2上．由1譬+：1得反思1第(2)小题中第①题直线z与第(1)(m+2n2)一4mx+4(1一n)=0，小题中的椭圆相切．在直线与圆中，切线与圆心和切点连线的斜率乘积为一1，那么椭圆上任一点处0另0式△=16m一16(／7／,+2)(1一)=的切线与中心和切点连线的斜率乘积为多少呢?16m。一l6(m+2一。)=0，是否也是定值?第11期孙小龙：反思引发探究探究带来惊喜·41·(m+4n)。+(m+4n)Y=4(1+n)，探究以椭圆x+告=

5、1(其中0>b>0)上一将m+2n。：2代人，得点c(m，n)为切点的椭圆的切线方程为+型=(2+2n)+(2+2n)Y。=4(1+n)，L2从而+Y=2．1，则该切线的斜率k切线=一，直线OC的斜率这种整体消去法简化了思维，避免了繁杂的运算．解题过程中达到目标的途径有多种，要将多种n。c=，得切线后。c=一(定值)，因此椭圆上方法进行比较，从中优选方法，方可避免复杂的运a算．任一点的切线与中心和切点连线的斜率乘积为定反思5第②题最终的定圆为+Y=2，而值一．椭圆的长半轴长的平方也为2，即+Y=a，这是当椭圆中a=b时椭圆就退化成了圆，此时一种巧合，还是一种必然?结合此

6、题的图形联想到非常类似的一道轨迹题：一=一1，因此圆与椭圆有不同更有统一，圆的实22．．．．例2已知椭圆-g+=1(其中0>b>0)的质是极限情况下的椭圆．∞U焦点为，，C为椭圆上任意一点，过点作反思2在椭圆中定值一多次出现，为解决／F。CF2外角平分线的垂线，垂足为日，求动点日动点问题提供了很大的方便，上述探究也为下面定的轨迹方程．值这个大家庭增添了新的一员“一”．分析如图1，延长F。日交C的延长线于点D，因为CH为FC外角的平分线，且，D上反思3第(2)小题中第②题参考答案中通过CH，所以△CD为等腰三角形，从而FC=CD．由特殊点探索出定圆的圆心及半径，从而为下面

7、一般F1C+F2C=2a，得F2C+CD=2a，且ⅡF2D=2a．又性的证明指明了方向．如果没能通过特殊位置找出因为点H，0分别为FD和F。的中点，所以伽=定圆，该如何把握计算方向呢?有没有其他计算方F2D=口，从而动点日的轨迹是以D为圆心、。为法可以求出定圆?半径的圆，动点日的轨迹方程为+)，=a．探究由方程组{-2=：0可解得，lI1【．y祷．，；因为点C(m，n)在椭圆上，所以m+2n=2，将m，n代人化简可得+y2=2．图1图2反思4上述2种计算方法的目标都是找出结合此题笔者产生一个大胆的想法：难道此题题意中的直接关系，采用了不同