导数基础部参变分离变更主元.doc

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1、导数基础部分离变量：例1：设函数V=f(X)在区间D上的导数为广(X),广(X)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上，g(x)<0恒成立，则称函数y=/(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数,/(X)=x4/wc33x1212一-6T43c乍395亠p沁门X,wc3对FQ/、xJWC~.解:由函数/(x)=—一一—得/(x)=-3%:.g(x)=x2-nvc-3(1)y=f(x)在区间［0,3］上为“凸函数”,贝！Ig(A：)=X2-nix-3<0在区间［0,3］上恒成立解法一：瓜二次函数的区

2、间最值入手:等价于g低(兀)<0

3、g(0)<0=>

4、-3<0[g(3)<0[9-3m-3<0解法二:分离变量法:*•*当兀=0时，.•.g(兀)=j?—"XV—3=—3<0恒成立,当0<尢53时，g(x)=x2-ntx-3<0恒成立y2-33等价于肌〉—=x-二的最大值(0<尢53)恒成立，XX3而h(x)=x--(02⑵・・・当网52时/(尢)在区间(a,b)上都为“凸函数”则等价于当

5、m

6、<2时g(x)=x2-nu-3<0恒成立再等价于F(m)=皿一

7、++3>0在

8、m

9、<2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)F(-2)>0[一2_¥-宀3〉0=>{=>{=>-1<^<1[F⑵〉0[2x-.r+3>0:.b-a=2变更主元法：例2：设函/(x)=--x3+2cix2-3a2x+Z?(0<^<1,Z?g/?)(I)求函数f(x)的单调区间和极值；(II)若对任意的xw[g+1,q+2],不等式f(x)0,得f(x)的单调递增区间为(扇a)令

10、fx)<0,得/(尢)的单调递减区间为(一8,a)和(3a,+oo)当x=a时，/(x)做小值=a'+/?;当x=3a时，f(x)极犬值=b.4(II)由得：对任意的xw[d+l,a+2],—aS疋一4妙+3夕Sa恒成立①则等价于g(x)这个二次函数gmax(兀)§agmin⑴之一°g(x)=x2-4ar+3/的对称轴x=2a0a+a=2a(放缩法)即定义域在对称轴的右边，g(Q这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x)=兀2—4血+3q2在!/z+l,a+2]上是增函数.

11、g(x)max=g(a+2)=-2a+l・g(X)min=g(G+l)=-4G+4.于是，对任意xw[a+l,a+2],不等式①恒成立，等价于g(a+2)—a+4“,解得乂幺“g(a+1)=-2a+1>-tz54又0vav1,二一5av1•点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与疋义域的关系例3：已知函数f(x)=xi+ax2图象上一点P(l,b)处的切线斜率为-3,g(x)=x3+~x2一a+i)兀+3a>o)(I)求。,方的值；(II)当xg［-1,4］时，求/(兀)的值域;(TIT)当

12、xg［1,4］时，不等式f(x)

13、］上为“凸函数”，求m的取值范围；(2)若对满足

14、nz

15、<2的任何一个实数加，函数/(兀)在区间(a,b)上都为“凸函数”,求b-a的最大值.