双变元(导数)

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1、1.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=logax(a>0且a≠1),其中a为常数。（1）如果A(x1,y1),B(x2,y2)(1成立，求a的取值范围；（2）如果h(x)=f(x)+g(x)在定义域上是增函数，且h′(x)存在零点（h′(x)是h(x)的导函数）。21．解：（Ⅰ）即由均值不等式（因为1

2、正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1这都与lna<0矛盾．所以a>1．…………………………………5分由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，所以lna＝1，即a＝e．………………7分（2）由（1），，于是，．等价证明，即证明设，设函数，.即证明………………………………………………9分因为当，，所以在上为单调增函数所以……………11分所以原命题成立.………………12分①求a的值；②设A(x1,y1),B(x2,y2)(1

3、<②．（2）由（1），，；于是，；……………………………10分以下证明（☆）；（☆）等价于，构造函数；……………………………12分则，当时，，所以在上为增函数；因此，当时，，即；从而得到证明；……………………………14分同理可证：；综上可得：．……………………………15分注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分．2012年辽宁省重点协作体二模解：（1）M（2，4），f′2）=2×2=4y=4x-4…（3分）检验：kAB==4满足…（4分）（2）在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”．假设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设0＜x1＜x2，则kAB==

4、…（6分）在函数图象x0=处的切线斜率k=f′（x0）=f′（）=，化简得：=，ln==…（8分）令=t，则t＞1，上式化为：lnt=，即lnt+=2若令g（t）=lnt+，g′（t）=，由t＞1，g′（t）＞0，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，g（t）＞g（1）=2这表明在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+=2综上所述，在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”． …（12分）2.对于函数图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点m处的切线l∥AB，则称AB存在“伴侣切线”．

5、特别地，当X0=时，又称AB存在“中值伴侣切线”．（1）函数f（x）=x2图象上两点A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侣切线”；（2）若函数f（x）=lnx，试问：在函数f（x）上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由153.设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2，且x1

6、w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；（II）证明：f(x2)>w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2009年全国卷24.（本小题满分12分）已知函数.（I）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；4.（本小题满分12分）解：（I）当时，则…………（2分）因为函数存在单调递减区间，所以<0有解.又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，若ax2+2x－1>0总有x>0的解；则需△=4+4

7、a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1