复变函数的导数

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1、理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数复变函数的导数导数•导数的定义–对于区域B内的单值函数ω=f(z)，在某点z，∆ωf(z+∆z)−f(z)lim=lim∆z→0∆z∆z→0∆z存在，则称f(z)在点z可导(可微)，⎛⎞dfdf极限值记作f'(z)(⎜⎟，zz=0)⎝⎠dzzdz0并称之为在点z的导数(微商)。17/09/2009S.H.DENG1理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数极限值存在的含义：∆ω∆z以任意方式趋于0时，都趋于同样的有限值∆z1)沿x轴方向趋于0∆x→0，，∆y=0则∆ω∆u+i∆υ∂u∂υf'(z)=lim=lim=+i∆z→0∆z∆x→0∆

2、x∂x∂x2)沿y轴方向趋于0，，∆x=0∆y→0，则∆u+i∆υ∂υ∂uf'(z)=lim=−i∆y→0i∆y∂y∂y17/09/2009S.H.DENG2理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数柯西—黎曼(Cauchy—Riemann)方程⎧∂u∂υ=⎪⎪∂xy∂⎨简称C—R方程∂u∂υ⎪=−⎩⎪∂yx∂1)函数可导的必要条件，不是充分条件f(z)=Rez⋅Imz=xyz=0处不可导2)意义：可导函数的虚部与实部不独立，而是相互紧密联系的。17/09/2009S.H.DENG3理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数•函数可导的充分必要条件1）四个偏导数∂u∂u∂υ∂υ存在

3、且连续，∂x∂y∂x∂y2）满足C—R方程•连续性与可微性的关系1）可导必连续2）连续未必可导17/09/2009S.H.DENG4理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数例：1）f(z)=x2）f(z)=z*=x−iy处处连续，却处处不可导；23）f(z)=x−iy在直线Rez=−1/2上处处可微导数是f'(z)=2x=−14）Re(z),Im(z),

4、z

5、,Arg(z)都不可导17/09/2009S.H.DENG5理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数导数的计算∂u∂υ∂u−iϕ∂υ−iϕ•C—R方程f'(z)=+if'(z)=e+ie∂x∂x∂ρ∂ρnn−1•与实变函数

6、求导形式相同，只是将x换作z，如(z)'=nz•可微函数的和、差、积、商(在分母不为0的点)仍是可微函数'⎡f(z)⎤[f'(z)f(z)−f(z)f'(z)][f(z)±f(z)]'=f'(z)±f'(z)'121212'2⎢⎥=2f(z)f(z)⎣2⎦2[f(z)⋅f(z)]'=f'(z)f(z)+f(z)f'(z)12'212•复合函数：如果ω=f(z)函数在z处可微，函数W=F(ω)在0对应点ω(z0)处可微，则复合函数W=F[f(z)]在z0处可微dF[f(z)]=F'[f(z)]⋅f'(z)dz17/09/2009S.H.DENG6理学院邓胜华10:23:12第2章解析

7、函数导数的几何意义–微商表示•f’(z)=dω/dz–模：•

8、f’(z)

9、=

10、dω

11、/

12、dz

13、此倍数与复平面上的向量无关–幅角：•Arg[f’(z)]=Arg(dw)-Arg(dz)此角度与复平面上的向量无关相交的向量，被映射到ω平面时，夹角保持不变–满足上述条件的变换被称为保角变换17/09/2009S.H.DENG7理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数解析函数•定义–点解析•函数f(z)在点z及其邻域上处处可导0–区域解析•函数f(z)在区域B上每一点都解析–奇点•函数f(z)在某点z不解析；或在该点无定义；或有0定义但不可导；或可导但不解析•讨论z=∞点是否解析，可做变

14、换t=1/z，讨论f(1/t)在点t=0是否解析即可17/09/2009S.H.DENG8理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数例题：判定下列函数是否解析1)f(z)=1/z•除了奇点Z=0之外，处处解析n2)f(z)=z•除了奇点Z=∞之外，处处解析23)f(z)=x−iy•在直线Rez=-1/2上可导，•处处不解析17/09/2009S.H.DENG9理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数•解析函数的判据–在z点解析的充分必要条件0•函数u(x,y)和υ(x,y)在点z及其邻域上处处可导，0且C—R方程成立–在区域B内解析的充分必要条件•函数u(x,y)和υ(x,y)在

15、区域B上处处可导，且C—R方程成立–有限次算术运算(在商的情形除去分母为0的点)17/09/2009S.H.DENG10理学院邓胜华10:23:12第2章解析函数–复合函数•设ω=f(z)在z平面上的区域B内解析，函数值域为G。如果W=F(ω)在ω平面上的区域G内解析，则W=F[f(z)]在区域B内解析dF[f(z)]dF(ω)df(z)==F'[f(z)]f'(z)ω=f(z)dzdωdz–反函数•设ω=f(z)在z平面上的区域B内解析，函数值域为G，且•z=h(ω