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《导数的几何意义（教学设计施永红）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数的儿何意义广大附中施永红%1.作业讨论并由学生陈述：问题：1・导数.厂（X。）的本质是什么？2.在高台跳水运动中，/秒（s）时运动员相对丁•水面的高度是/?（r）=-4.9r2+6.5/+10（单位:m）,求运动员在心h时的瞬时速度,并解释此时的运动状态。3・圆面积S是半径尸的函数S=卅,求圆在厂=1时的面积瞬时变化率，并解释此吋圆面积的瞬时变化规律。4•球体积V是半径厂的函数V=-^,问：球在r=l时的体积3瞬时变化率，并解释此时球体积的瞬时变化规律。参考答案:1.导数/S）的本质是函数/（刃在兀=心处的瞬时
2、变化率，即:/（■X。+心）-/（兀0）2./7Z(l)-lim/?(1+AZ)-/?(l)^soAr..-4.9Ar2-3.3Ar=limsoAzv-4.9(Ar+1)2+6.5(At+1)+10-(-4.9•1?+6.5•1+10)limlSO△/=lim（-4.93—3.3）=-3.3,所以X（1）=-3.3□$tO运动员在/=Is时的瞬时速度为"⑴=-3.3o这说明运动员在h附近，正以大约3.3m/5的速率下落。Sz(l)=limAttOS(l+zV)S(l)Ar=limFTAttOAr==limAttO△
3、厂面积=lim(尬厂+2龙)=2兀，所以S，(l)=2兀。这说明圆在广=1的附近,3tO正以大约2兀的瞬时变化率增大。(思考，动画)4龙(i+△厂y4^■-134."⑴=臥〃"厂)一")=怙厂AttOAr4一>0Ar4,—^-(Ar3+3Ar~+3Ar).-lim=lim—兀(△厂'+34厂+3)=4龙,所以M，(l)=4龙。Ar->0ArAr->03这说明球在r=l的附近，体积正以大约4兀的瞬时变化率增大。(思考，动画)%1.(一)引入：函数的思想屮，数形结合是一种重要而且直观的数学思想方法。我们己经学习了导数的
4、本质及其物理意义或者实际意义，我们不禁要问：导数的儿何意义是什么？例如：上述的三个问题中，”(1)=-3.3$⑴二2兀,0(1)=4龙的几何意义分别是什么？我们利用数形结合，画出函数的图像，看看通过函数的图像研究，能有什么新的体会。(%1)转化：为了使研究更具有操作性，我们抛开问题的实际背景，从研究更简单的函数入手，这也是数学研究的常用方法。(%1)问题与探索：求函数f(x)=x2在兀=0.2处的导数广(0.2),说说它的本质，并用数形结合的方法，探索十(0.2)的儿何意义。十(。2)=lim/(0.2+Ax)-/
5、(0.2)^沁2+Ax)5山t()Ar山t°Ax2c=lim2寸°4心=lim(心+0.4)=0.4。所以/.f1(0.2)=0.4axtOAy心to/z(0.2)=0.4的本质是函数f(x)=x2在兀=0.2处的瞬时变化率是0.4,即函数/(x)=x2在兀=0.2的附近正以大约0.4的瞬时变化率增大。画出函数/(x)=x2的图像，从图像上的哪几个点开始研究？联想：定义/畑卜恤如+心卜心)山toAx从点A(0.2,/(0.2))•点B(0.2+Ax,/(0.2+Ax))入手。那么点A(0.2,/(0.2)),点5(
6、0.2+心,/(0.2+心))的几何意义是什么？请在图形中体现体现出来。/(()・2+心)7(()・2)的几何意义是什么?请在图形中体Ax现体现出来。填表，讨论，发言，展示。静态动态Ax—>0静态有关量儿何意义A(0.2,/(0.2))0.2二QA/(0.2)=MA坐标的几何表示B(0.2+Ax,/(0.2+Ar))0.2+心=QP/(0.2+Ax)=NB嘶眦何却i*7八、、BAAxx=QP-QA=AP横坐标的差（R变量的增量）AxT0/(0.2+心)_/(0.2)/(0.2+Ai)-/(0.2)=NB—MA=N
7、B-NP=PB/(0.2+Ax)-/(0.2)/(0.2+Ax)-/(0.2)AxPB=——=tan上BAPAP割线AB的斜率V割线ABt（极限位置）即：切线AD动态△XT0广(O.2)=]inJ(°2+B7(°・2)7山toAr=切线AD的斜率驚的卅（四）动画演示，阅读课本，小结:1.平均变化率/（°2+心）-/7（。2）在趋向于某一时刻的变化过程Ar屮，自变量的增量心越来越小，能越过任意小的间隔，但始终不能为0,不然，我们就得不到平均变化率的值；平均变化率在图形中的儿何意义是割线AB的斜率。2•当&趋近于0时，
8、平均变化率门°2+心）-加）.2）无限趋近于的常数就是.厂（0.2）,从图形上看，当卜趋近于0时，点B沿曲线趋近于点A,割线绕点A转动，它的极限位置为直线AD,这条直线叫做此曲线在点A处的切线。于是当T0时，割线AB的斜率趋近于过点A的切线的斜率，即：〃（02）=］曲/仇2+心）7（（）・2）=切线仙的斜率山T°心还可以利用点斜式求出切线AD的方程：y-0.
