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《导数的几何意义(教授教化设计施永红)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数的儿何意义广大附中施永红一.作业讨论并由学生陈述:问题:1・导数fg)的本质是什么?2.在高台跳水运动中,(秒(s)时运动员相对丁水面的高度是/?(r)=-4.9r2+6.5r+10(单位:m),求运动员在f=1$时的瞬时速度,并解释此时的运动状态。3・圆面积S是半径厂的函数S=70以,求圆在厂=1时的面积瞬时变化率,并解释此吋圆面积的瞬时变化规律。4.球体积V是半径厂的函数V=-^3,
2、nj:球在厂=1时的体积3瞬时变化率,并解释此时球体积的瞬时变化规律。参考答案:1•导数厂(心)的本质是函数/
3、(兀)在兀“°处的瞬时变化率,即:f,M=Jim心tO/(勺+山)一/(兀0)2.limA/t()/7(1+ZV)-/2(1)ArlimA/->0v-4.9Ar2-3.3Ar=lim&tO△/-4.9(Af+l)2+6.5(A/+l)+l()-(-4.912+651+1O)△/=lim(-4.9Ar-3.3)=-3.3,所以//⑴=-3.3。A/TO运动员在/=Is时的瞬时速度为//(l)=-3.3o这说明运动员在15■附近,正以大约3.3加/$的速率下落。S'(l)=limAttO5(1+Ar)-5
4、(1)恤血型土AttO△厂==limAttO△厂=lim(尬厂+2龙)二2龙,所以S,(1)=2龙。这说明圆在厂=1的附近,面积ArTO正以大约2龙的瞬时变化率增大。(思考,动画)4^-(1+Ar)34龙・F/17//n1-V(l+Ar)-V(l)..33^4.V(1)=hm—=lim3TOArAtt()Ar4o?―兀(△疋+3△厂2+3△厂)=lim=lim—兀(△厂2+34厂+3)=4乃,月f以V,(1)=4龙。ArTO“AttO3这说明球在—1的附近,体积正以大约4龙的瞬时变化率增大。(思考,动
5、画)二.(一)引入:函数的思想中,数形结合是一种重要而且直观的数学思想方法。我们已经学习了导数的本质及其物理意义或者实际意义,我们不禁要问:导数的几何意义是什么?例如:上述的三个问题中,//(1)=-3.3$(1)=2龙,0(1)=4龙的几何意义分别是什么?我们利用数形结合,画出函数的图像,看看通过函数的图像研究,能有什么新的体会。(二)转化:为了使研究更具有操作性,我们抛开问题的实际背景,从研究更简单的函数入手,这也是数学研究的常用方法。(三)问题与探索:求函数/(x)=x2在兀=0・2处的导数.厂
6、(0.2),说说它的本质,并用数形结合的方法,探索f(0.2)的几何意义。厂(0.2)=lim/(0.2+Ay)-/(0.2)=向(0.2+心公山t°Ax心toAx二lim山+04心=lim(Ar+0.4)=0.4。所以.••厂(0.2)=0.4AxtOAxt()/7(0.2)=0.4的本质是函数f(x)=x2在x=0.2处的瞬吋变化率是0.4,即函数/⑴=/在兀=°2的附近正以大约0.4的瞬时变化率增大。画出函数/(x)=x2的图像,从图像上的哪几个点开始研究?联想:定义/畑卜恤畑+山)-/(0.2
7、)山t°Ar从点A(0.2J(0.2))•点、〃(0.2+心,/(0.2+心))入手。男
8、(么点A(0.2,/(0.2)),点B(0.2+Ax,.f(0.2+Ax))的几何意义是什么?请在图形中体现体现出来。小2+山)-/(0・2)的几何意义是什么?请在图形屮体Ar现体现出来。填表,讨论,发言,展示。静态动态Ax—>0静态冇关量几何意义A(0.2J(0.2))0.2=QA/(0.2)=MA坐标的几何表示B(0.2+ArJ(0・2+Ar))0.2+△兀=QP/(0.2+Ax)=NB坐标的几何表示占BtA
9、AxAx=QP一QA=AP坐滓自量增>横标的{变的量Ax—>0/(0.2+Ax)-/(0.2)/(0.2+Ar)-/(0.2)=NB-MA=NB-NP=PB/(0.2+山)-f(0・2)Ax/(0.2+心)-/(0.2)AxPB==tanZBAPAP割线AB的▼割线(极限位置)即:切线AD动态Ax—>0广(0.2)“訂(°2+山)7(0・2)soAx切线AD=切线AD的斜率的斜率(四)动画演示,阅读课本,小结:1.平均变化率门°・2+山)-加0・2)在趋向于某一时刻的变化过程Ax中,自变量的增量心越來
10、越小,能越过任意小的间隔,但始终不能为0,不然,我们就得不到平均变化率的值;平均变化率在图形中的儿何意义是割线AB的斜率。2・当d趋近于0时,平均变化率MX+心)-加)・2)无限趋近于的常Ax数就是"(0.2),从图形上看,当b趋近于0时,点B沿曲线趋近于点A,割线绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线叫做此曲线在点A处的切线。于是当&T0时,割线AB的斜率趋近于过点A的切线的斜率,即:广(0.2)=lim/(O.2+M-/(O-2)=切线仙的斜率