导数的几何意义(教学设计施永红).doc

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1、导数的几何意义广大附中施永红%1.作业讨论并由学生陈述：问题：1・导数严（兀。）的本质是什么？2.在咼台跳水运动中秒（5）时运动员相对于水面的咼度是/?（r）=-4.9r+6.5r+10（单位:m）,求运动员在2h时的瞬时速度,并解释此时的运动状态。3・圆面积S是半径广的函数S=加人,求圆在广=1时的面积瞬时变化率，并解释此时圆面积的瞬时变化规律。4•球体积V是半径广的函数V=-^r3，问：球在心1时的体积3瞬时变化率，并解释此时球体积的瞬时变化规律。参考答案:1・导数门心）的本质是函数/⑴在兀=

2、心处的瞬时变化率，即:广（兀。）=Hm心tO/(兀o+Ax)7'(Xo)Ar2.”(l)=IimM+d)—M)=a/t()Arv一4.9(Ar+1)2+6.5(Ar+1)+10-(一4.9•1?+6.5•1+10)limAloA/—4.9△厂—3.3Af=limatAzIim(-4.9Ar-3.3)=-3.3,所以//(1)=一3・3。^->0运动员在uIs时的瞬时速度为"（1）=-3.3o这说明运动员在Is附近，止以大约3.3mls的速率下落。3.S'(l)=limAr->()S(l+zV)—S

3、(l)Ar=lim汕+'J2fFAr—>0△厂_.・尬厂+2加V==limA/t()△厂=lim(尬厂+2龙)=2兀，所以S，⑴=2龙。这说明圆在厂=1的附近，面积AttO正以大约2兀的瞬时变化率增大。(思考，动画)4龙(1+△广y4龙•卩4.Vz(l)=lim⑴=limAttO△厂MtO△厂4.9—R(△疋+3△厂2+3△门=lim=lim—%(△/'+3"+3)二4兀,所以V‘(l)=4兀。AttO△厂Ar->03这说明球在21的附近，体积正以人约4兀的瞬时变化率增人。(思考，动画)%1.(

4、一)引入：函数的思想屮，数形结合是一种重要而且直观的数学思想方法。我们已经学习了导数的木质及其物理意义或者实际意义，我们不禁要问：导数的儿何意义是什么？例如：上述的三个问题中，//(1)=-3.3$(1)=2龙,0(1)=4龙的几何意义分别是什么？我们利用数形结合，画出函数的图像，看看通过函数的图像研究，能有什么新的体会。(%1)转化：为了使研究更具有操作性，我们抛开问题的实际背景，从研究更简单的函数入手，这也是数学研究的常用方法。(%1)问题与探索:求函数f(x)=x2在兀=0.2处的导数门0.

5、2),说说它的本质，并用数形结合的方法，探索/z(0.2)的儿何意义。广(°.2)=lim/(0.2+Ax)-/(0.2)=亦(0.2+时-0公山t()Ar山toAx2=limZ」山=lim(Ar+0.4)=0.4。所以.・.f(0.2)=0.4avtOAyaatO厂(0.2)=0.4的本质是函数f(x)"在x=0.2处的瞬时变化率是0.4,即函数几兀)=/在兀=0.2的附近正以大约0.4的瞬时变化率增大。画出函数fx)=x2的图像，从图像上的哪几个点开始研究？联想：定义f(O.2)=lim几)

6、二+心)-/((⑺山toAx从点4(0.2,/(0.2))•点B(0.2+Aa,/(0.2+Ar))入-手。另P么点人(02/(0.2)),点〃(0.2+心丿(0.2+心))的几何意义是什么？请在图形中体现体现出来。心仝5旦的几何意义是什么？请在图形中体Ax现体现出来。填表，讨论，发言，展示。静态动态Ax—>0静态有关量几何意义A(0.2,/(0.2))0.2=QA/(0.2)=MA坐标的几何表示B(0.2+Ax,/(0.2+Ax))().2+Ax=QP/(0.2+A%)=NB坐标的几何表示1*7

7、八、、BAAxx=QP-QA=AP横坐标的差（R变量的增量）△兀T0/(0.2+心)-/(0.2)/(0.2+Ax)-/(0.2)=NB—MA=NB-NP=PBr瞇/(0.2+Ax)-/(0.2)Ax/(0.2+Ax)-/(0.2)AxPR==tanZBAPAP割线AB的斜率▼割线（极限位置）即：切线AD动态△兀T0f（O.2）=li訂（°2+&）F°・2）、7山toAx=切线AD的斜率切线AD的斜率（四）动画演示，阅读课本，小结:1・平均变化率/（°2+山）-力（0.2）在趋向于某一时刻的变化

8、过程Ar屮，自变量的增量心越来越小，能越过任意小的间隔，但始终不能为0,不然，我们就得不到平均变化率的值；平均变化率在图形中的几何意义是割线AB的斜率。2.当△『趋近于0时，平均变化率心*心）一加⑺无限趋近于的常Ax数就是.厂（0.2）,从图形上看，当△/趋近于0时，点B沿曲线趋近于点A,割线绕点A转动，它的极限位置为直线AD,这条直线叫做此曲线在点A处的切线。于是当dT0时，割线AB的斜率趋近于过点A的切线的斜率，即：f（0.2）=iim/（（）・2+山）-/（（）2）=切线AQ