微积分、极限思想推导圆周长、面积公式.doc

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1、圆周长公式推导1.积分法在平面直角坐标下圆的方程是x^2+y^2=r^2这可以写成参数方程x=r*Costy=r*Sintt∈[0,2π]于是圆周长就是C=∫(0到2π)√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt（Q:此处x,y对t为什么都要导？A:将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1),y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=√(△x^2+△y^2)=√((x'(t))^2+(y'(t))^2).所

2、以C就是√((x'(t))^2+(y'(t))^2)从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.）=∫(0到2π)√((-rSint)^2+(rCost)^2)dt=∫(0到2π)rdt=2πr2.极限法在圆内做内接等n边形，求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，其底边长为2*r*sin(π/n)，所以等n边形周长为n*2*r*sin(π/n)这个周长对n→∞求极限lim[n*2*r*sin(π/n)]运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x所以li

3、m[n*2*r*sin(π/n)]=lim[n*2*r*π/n]=2πr.圆面积公式推导应用圆周长C=2πr1.可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。2.积分法可将圆看成由无数个同心圆环组成.设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S=∫2πrdr,从0积到

4、R.所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]=πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法ShellMethod”与此法是类似的.)不应用圆周长C=2πr1.积分法(1)圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述.(2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A.C/n=√(△x^2+△y^2)=√((x'(t))^2+(y'(t))^2)，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以C/n为底、

5、r为高的等边三角形，每个面积就是r*C/n*1/2=1/2*r*√(△x^2+△y^2)=1/2*r*√((x'(t))^2+(y'(t))^2).于是圆的面积就是S=∫(0到2π)1/2*r*√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt=1/2*r*∫(0到2π)√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt=1/2*r*C=1/2*r*2πr=πr^2.2.极限法类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n边形，求等n边形面积：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，根据正弦定理，其面

6、积为1/2*r*r*sin(2*π/n)，所以等n边形面积为n*1/2*r^2*sin(2*π/n)这个面积对n→∞求极限lim[n*1/2*r^2*sin(2*π/n)]运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x所以lim[n*1/2*r^2*sin(2*π/n)]=lim[n*1/2*r^2*2*π/n]=πr^2*π.