统计学-李金昌ppt 第三章 变量分布特征的描述.ppt

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1、第一节集中趋势的描述第二节离中趋势的描述第三节分布形状的描述第三章变量分布特征的描述第一节集中趋势的描述一、集中趋势与平均指标二、数值平均数三、位置平均数集中趋势亦称为趋中性，是指变量分布以某一数值为中心的倾向。作为中心的数值就称为中心值，它反映变量分布中心点的位置所在。变量分布的集中趋势要用平均指标来反映。平均指标是将变量的各变量值差异抽象化、以反映变量值一般水平或平均水平的指标，也就是反映变量分布中心值或代表值的指标。平均指标的具体表现称为平均数，平均数因计算方法不同可分为数值平均数和位置平均数两类。一、集中趋势与平均指标（一）算术平均

2、数1.简单算术平均数简单算术平均数是根据未分组数据计算的，即直接将变量的每个变量值相加，除以变量值的个数。若以表示变量，以表示第个变量值（=1，2，…，n），以表示算术平均数，以n表示变量值个数，则简单算术平均数的计算公式为：==（可简记为)二、数值平均数2.加权算术平均数加权算术平均数是根据变量数列计算的，即以各组变量值（或组中值）乘以相应的频数求出各组标志总量，加总各组标志总量得出总体标志总量，再用总体标志总量除以总频数。若以表示第组的变量值（或组中值）（=1，2，…，k），以表示第i组的频数（=1，2，…，k），以k表示分组数，则加权

3、算术平均数的计算公式为：=（可简记为）3.算术平均数的数学性质各变量值与算术平均数的离差之和等于零，即：=0（对于简单算术平均数）=0（对于加权算术平均数）2)各变量值与算术平均数的离差平方之和为最小值，即：=最小值只有当时，等号成立。4.算术平均数的优缺点算术平均数具有以下几个优点：一是可以利用算术平均数来推算总体标志总量，因为算术平均数与变量值个数之乘积等于总体标志总量（变量值总和）；二是由算术平均数的两个数学性质可知，算术平均数在数理上具有无偏性与有效性（方差最小性）的特点，这使得算术平均数在统计推断中得到了极为广泛的应用。三是算术平

4、均数具有良好的代数运算功能，即分组算术平均数的算术平均数等于总体算术平均数。算术平均数也有其局限性，主要表现在以下两个方面：一是算术平均数易受特殊值（特大或特小值）的影响，当变量存在少数几个甚至一个特别大或特别小的变量值时，就会导致算术平均数迅速增大或迅速变小，从而影响对变量值一般水平的代表性；二是根据组距数列计算算术平均数时，由于组中值具有假定性而使得计算结果只是一个近似值，尤其是当组距数列存在开口组时，算术平均数的准确性会更差。（二）调和平均数1.简单调和平均数当各组的标志总量相等时，所计算的调和平均数称为简单调和平均数。设总体分为k个

5、组，每个组的标志总量都为m，则总体标志总量为km。现仍以x表示各组变量值，以H表示调和平均数，则简单调和平均数的计算公式为：=（可简记为）2.加权调和平均数当各组的标志总量不相等时，所计算的调和平均数要以各组的标志总量为权数，其结果即为加权调和平均数。若以表示各组标志总量，则加权调和平均数的计算公式为：（可简记为）3.由相对数或平均数计算平均数有时，我们需要根据相对数或平均数来计算平均数。例如，根据各零售分店的计划完成程度来计算全公司的计划完成程度；根据各企业的职工平均工资来计算全公司的职工平均工资等。这时总体平均数的计算要依所掌握的权数资

6、料不同采取不同的方法。如果所掌握的权数资料是相对数或平均数的母项数值，要用加权算术平均数；如果所掌握的权数资料是相对数或平均数的子项数值，则要用加权调和平均数。需要强调的是，在以相对数或平均数计算平均数时，不论是用加权算术平均数公式还是用加权调和平均数公式，都要从相对数或平均数指标本身的经济含义出发来计算，这是一个很重要的原则。（三）几何平均数1.简单几何平均数简单几何平均数就是变量的n个变量值连乘积的n次方根。若以表示变量的第i个变量值（=1，2，3，…，n），以G表示几何平均数，则简单几何平均数的计算公式为：（可简记为）2.加权几何平均

7、数当计算几何平均数的各种变量值出现的次数不等，即数据经过了统计分组时，则应采用加权几何平均数。若以表示第i组的变量值（=1，2，…，），以表示第i组的频数（=1，2，…，k），以k表示分组数，则加权几何平均数的计算公式为：（可简记为）（四）算术平均数、调和平均数和几何平均数的数学关系从数学上看，算术平均数、调和平均数和几何平均数都是幂平均数的一种。幂平均数的定义是：当=1时，幂平均数就是算术平均数；当=-1时，幂平均数就是调和平均数；当趋向于0时，幂平均数的极限形式就是几何平均数。由于幂平均函数是单调递增函数，所以值越大幂平均数就越大，因此

8、单从数学意义上看，算术平均数、调和平均数和几何平均数三者的大小关系是：（一）中位数与分位数1.中位数中位数是变量的所有变量值按定序尺度排序后，处于中间位置的变量值。中位数既可用以