变量分布特征的描述

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1、第三章变量分布特征的描述第一节集中趋势的描述变量分布特征可以从以下三个方面加以描述：集中趋势：反映变量分布中各变量值向中心值靠拢的程度；离中趋势：反映变量分布中各变量值远离中心值的程度；分布形状：反映变量分布的偏斜程度和尖陡程度。一、集中趋势与平均指标集中趋势亦称为趋中性，是指变量分布以某一数值为中心的倾向。用平均指标来反映。平均指标的种类数值平均数包括算术平均数：简单算术平均加权算术平均调和平均数：简单调和平均加权调和平均几何平均数：简单几和平均加权几和平均位置平均数包括：众数中位数分位数平均指标的作用（自学） 二、数值平均数（一）算术平均数1、基本计算公

2、式：总体标志总量/总体单位总数2、简单算术平均数：1）计算公式： （2）适用范围：末分组资料。3、加权算术平均数：（1）计算公式：  （2）说明：在组距数列中x用组中值；影响因素：标志值、权数。（3）适用范围：分组资料中已知分母加总资料。（4）注意问题——权数及权数的作用。4、算术平均数的数学性质5、算术平均数的优缺点:优点：a.)可推算总体标志总量;b.)便于代数运算;c.)抽样中具有良好稳定性。缺点：a.)受极端值的影响大;b.)组距数列中有较大假设性。（二）调和平均数1．问题的提出例：市场上苹果的价格有三种：3元/斤；2.4元/斤;1.2元/斤，现有两

3、种可供选择的方案：甲各买30元或乙各买15斤，问选择何方案为优？2．调和平均数的概念（1） 概念：标志值倒数的算术平均数的倒数。（2） 特点：a.)常作为算术平均数的变形b.)标志值中有数据为零时无法计算。（3）简单调和平均数 适用范围：末分组资料。（4）加权调和平均数实质：加权算术平均数的变形。适用范围：分组资料已知基本公式分子加总资料。（三）由相对数或平均数计算平均数基本步骤：1.)写出基本公式;2.)确定计算公式;3.)具体计算。（四）几和平均数1、简单几和平均数 适用范围：资料末分组，变量值互相影响。2、加权几和平均数 适用范围：分组资料，变量值互相

4、影响。（五）算术平均数、调和平均数、几和平均数的数学关系同一资料计算结果：x≥G≥H  三、位置平均数（一）中位数1、中位数的概念：总体单位按某一标志值排队后中间位置的标志值。2、中位数的计算（1）末分组资料中位数的计算基本步骤：1.)将总体单位按某一标志进行排队；2.)确定中数的位置：(n+1)/23.)中间位置上的那个标志值即为中位数。（2）分组资料中位数的计算基本步骤：1.)计算累计频数(向上累计频数或向下累计频数);2.)确定中位数的位置：∑f/23.)单项数列：该组的标志值即为中位数;组距数列，根据上下限公式计算中位数。   （3）中位数的特点（自

5、学）（二）分位数1、概念将变量的数值按大小顺序排列并等分为若干部分后，处于等分点位置的数值。常用的分位数有四分位数、十分位数和百分位数。，和分别表示第一个、第二个和第三个四分位数，则他们的位置分别为：，和，根据位置即可确定各个四分位数。（三）众数1、众数的概念：变量中出现次数最多的变量值。2、末分组资料众数的计算：直接根据众数概念(单项数列同)。 3、分组资料众数的计算：a.)确定众数组;b.)根据上下限公式计算众数的具体数值。   4．众数的特点（自学）（四）中位数、众数、算术平均数的关系第二节 离中趋势的描述一、离中趋势和离散指标所谓离中趋势，就是变量分

6、布中各变量值背离中心值的倾向。用离散指标来反映。常用的离散指标主要有：全距（亦称极差）、四分位差、异众比率、平均差、标准差、离散系数等。二、离散指标的测度（一）全距1、概念：总体各单位标志值中最大标志值与最小标志值之差。=-2、特点：受极端值影响最大。（二）四分位差四分位差是四分位数中第一个四分位数与第三个四分位数之差，也称为内距或四分间距，通常用表示，即：通常与中位数相结合，用以表明变量分布中间50%数值的离散程度，（三）异众比率异众比率是分布数列中非众数组的频数与总频数之比，通常用来表示，即：其中为众数组的频数。通常与众数相结合，用以表明众数代表性的高低

7、。（四）平均差1、概念：总体各单位标志值与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。2、平均差的计算： 优点：利用了全部数据信息，能比较客观反映变量分布的离散程度。不足：取了绝对值，因而数学处理不是很方便，数学性质也不是最优，应用上受到了一些限制。（五）方差和标准差1、概念方差是变量的各变量值与其均值的离差平方的算术平均数，标准差则是方差的平方根。方差和标准差是测度变量分布离散程度最重要的指标。2、方差的计算公式为：（根据未分组数据）（根据变量数列）标准差的计算公式为：（根据未分组数据）（根据变量数列）优点：方差和标准差利用了全部数据信息，因而能准确反映变量分布

8、的离散程度。尤其是标准差与平均差相比，不仅具有平均差