数值分析试卷.doc

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1、数值分析考试题（一）满分70分 得分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分）1、将分解为，其中，若对角阵非奇异（即，则化为（1）若记（2）则方程组（1）的迭代形式可写作（3）则（2）、（3）称【】(A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代(C)、分解(D)、Cholesky分解。2、记，若（其中为一正数）称序列是【】(A)、阶收敛；(B)、1阶收敛；(C)、矩阵的算子范数；(D)、阶条件数。3、牛顿切线法的迭代公式为【】(A)、(B)、(C)、(D)、得分二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，

2、共10分）1、设，，，则一阶差商，二阶差商，的二次牛顿插值多项式为2、用二分法求方程在区间内的根，进行第一步后根所在的区间为，进行第二步后根所在的区间为。得分三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、表中各都是对准确值进行四舍五入得到的近似值。试分别指出其绝对误差限、相对误差限及有效数字位数。绝对误差限相对误差限有效数字位数30.1200.30122、已知函数表100121144101112试用抛物插值计算的近似值，并估计截断误差。3、确定系数，使求积公式（1）具有尽可能高的代数精度，并指出所得求

3、积公式的代数精度。4、试使用Simpson公式计算积分的近似值，并估计截断误差。5、用牛顿迭代法求方程在附近的近似根，精度到。6、用列主元高斯消去法解线性方程组7、给定线性方程组（1）写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式；（2）考查雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式的收敛性。数值分析考试题（一）答案满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分）1、A2、A3、B二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、16，7，16x+7x(x-1)2、[0.5,1]，[0.5,0.75]

4、三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、解（1）作为数的近似值时，不一定为的有效数字。但是用四舍五入取准确值的前位作为近似值，则必有个有效数字。因为0.3012是对准确值进行四舍五入得到的近似值，所以0.3012有位有效数字3012；而30.120=0.30120有位有效数字30120。…………………2分（2）根据有效数字的定义：设数的近似值，其中（）是到之间的任一个正整数，且，是正整数，是整数，如果绝对误差的则称为的具有位有效数字的近似值，准确到第位，为的有效数字。所以，具有四位有效数字的数0

5、.3012的绝对误差限为。具有五位有效数字的数30.120=0.30120的绝对误差限为。…………………5分（3）根据定理：设数的近似值具有位有效数字，则的相对误差满足下列不等式所以，具有四位有效数字的数0.3012的相对误差限为。而具有五位有效数字的数30.120=0.30120的相对误差限都为。…………………8分所得结果列入下表中绝对误差限相对误差限有效数字位数30.120位有效数字0.3012位有效数字2、解抛物插值计算公式为将代入上式，得的抛物插值函数为故=10.7228…………5分因为，则，，代入…………2分3、解

6、要使求积公式（1）至少具有2次代数精度，其充分必要条件为当时，当时，，当时，，即，解得。代入求积公式（1），得（2）当时，求积公式（2）的左边=，（2）式的右边，左边=右边；…………5分当时，求积公式（2）的左边=，（2）式的右边，左边右边；…………6分所以，当求积公式（1）中求积系数取为时，得到求积公式（2），其代数精度取到最高，此时代数精度为3。7分4、解用Simpson公式计算计算，取，得…………5分由Simpson公式的余项,得…………2分5、解因为，则，故牛顿迭代公式为取，则1.3731.365…………6分因为，所

7、以，取，用牛顿迭代法求满足精度要求的近似根为1.37。…………7分6、解。等价的三角方程组为…………5分回代得…………2分7、解雅可比迭代公式为…………3分高斯-赛德尔迭代公式为…………3分（2）由于所给线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式都是的收敛的。…………1分 数值分析实验报告题目满分30分 用Matlab完成下列题目，实验报告内容应包括问题、算法原理、程序、计算结果及分析等。一、线性方程组求解与性态讨论求的解向量，其中，.然后把扰动为，再求解.计算（使用1-范数或-范数），讨

8、论方程组性态.二、三次样条插值问题已知函数值0．250．300．330．360．400．450．50000．53260．60310．62450．65380．6805和边界条件：。求三次样条插值函数并画出其图形。三、分别用梯形公式的逐次分半算法和Romberg算法计算的近似值，绝对误差限四、