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1、模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分,共30分)1.有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2.设,,则=.,=______.3.已知y=f(x)的均差(差商),,,,那么均差=.4.已知n=4时Newton-Cotes求积公式的系数分别是:则=.5.解初始值问题的改进的Euler方法是阶方法;6.求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为,若取,则.7.求方程根的牛顿迭代格式是 .8.是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则=.9.解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.10.设,则的三
2、次牛顿插值多项式为,其误差估计式为.二、综合题(每题10分,共60分)1.求一次数不超过4次的多项式满足:,,,.2.构造代数精度最高的形式为的求积公式,并求出221其代数精度.3.用Newton法求方程在区间内的根,要求.4.用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:1925303819.032.349.073.35.用矩阵的直接三角分解法解方程组.6试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式,其中.三、证明题(10分)设对任意的,函数的导数都存在且,对于满足的任意,迭代格式均收敛于的根.参考答案一、填空题1.5;2.8,9;3.;4
3、.;5.二;6.,(0.02,0.22,0.1543)7.;8.;9.;10.二、综合题1.差商表:22111122151515575720204272152230781其他方法:设令,,求出a和b.2.取,令公式准确成立,得:,,,.时,公式左右;时,公式左,公式右∴公式的代数精度.3.此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。设则,,Newton法迭代公式为,取,得。 4.,,.解方程组,其中,解得:所以,.5.解设221由矩阵乘法可求出和解下三角方程组有,,,.再解上三角方程组得原方程组的解为,,,.6解初值问题等价于如下形式,
4、取,有,利用辛卜森求积公式可得.三、证明题证明将写成,由于,所以所以迭代格式均收敛于的根.模拟试卷(二)一、填空题(每小题3分,共30分)1.分别用2.718281和2.718282作数的近似值,则其有效位数分别有位和位;2212.设,,则=________,=.3.对于方程组,Jacobi迭代法的迭代矩阵是=________.4.设,则差商=__________,=_______.5.已知,则条件数_________.6.为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度,则其求积基点应为=__________,=__________7.解初始值
5、问题近似解的梯形公式是8.求方程根的弦截法迭代公式是 9.计算积分,取4位有效数字,用梯形公式计算求得的近似值是,用辛卜生公式计算的结果是10.任一非奇异矩阵的条件数=,其一定大于等于二、综合题(每题10分,共60分)1证明方程在区间有且只有一个根,若利用二分法求其误差不超过近似解,问要迭代多少次?2已知常微分方程的初值问题:试用改进的Euler方法计算的近似值,取步长.3用矩阵的分解法解方程组.2214用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合.x1.01.41.82.22.6y0.9310.4
6、730.2970.2240.1685设方程组,试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。6按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值,取初始向量,迭代两步求得近似值即可.三、证明题(10分)已知求的迭代公式为:证明:对一切,且序列是单调递减的,从而迭代过程收敛.参考答案一、填空题1.6,7;2.9,;3.;4.1,0;5.9;6.,;7.;8.;9.0.4268,0.4309;10.,1二、综合题1解令,则,,且故在区间内仅有一个根.利用二分法求它的误差不超过的近似解,则221解此不等式可得所以迭代14次即可.2、解:3解设利用矩
7、阵乘法可求得,,,,,解方程组得,再解方程组得.3解令,则容易得出正规方程组,解得.故所求经验公式为.5解(1)由于,所以在内有根且,故利用雅可比迭代法不收敛.221(2)由于所以,故利用高斯-赛德尔迭代法收敛.6解因为,故,且,.从而得,,.三、证明题证明:由于故对一切,,又所以,即序列是单调递减有下界,从而迭代过程收敛.模拟试卷(三)一、填空题(每小题3分,共30分)1.设是真值的近似值,则有位有效位数,相对误差限为;2.若用二分法求方程在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分次。3.有n个节点的高斯求积公式的代数精度为次
8、.4.设,要使迭代格式局部收敛到,则的取值范围是5.设线性方程组有唯一解,在不考虑系数矩阵扰动的情况下,若方程组右端项的扰动相对误差,就一定能保证解的相对误差;6.