7-4 空间直线及其方程

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1、第四节空间直线及其方程第七章一、空间直线的方程二、两直线的夹角三、直线与平面的夹角四、点到直线的距离五、平面束法定义空间直线可看成两平面的交线．1.空间直线的一般式方程一、空间直线的方程(不唯一)方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，则这个向量称为这条直线的方向向量．//2.空间直线的对称式方程直线的对称式方程:说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.直线方程为例如,当直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.令3.空间直线的参数方程用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标例1因所求直

2、线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程再求直线的方向向量:注化直线L方程的一般式1°由(1),任意求出直线L上的一点M0(x0,y0,z0)为对称式的步骤：(只要点M0的坐标同时满足(1)中的两个方程即可)2°确定L的方向向量由此可确定方向数m,n,p，从而写出L的对称式.解所以交点为取例2所求直线方程一般思路：作过A点且垂直于已知直线L1的平面，再求与L1的交点，进而求得所求直线的方向向量.此处:y=-3定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）——两直线的夹角公式二、两直线的夹角两直线的位置关系直线直线

3、例如，异面解设所求直线的方向向量为根据题意知取例3L所求直线的方程例4解(1)依题设，有L1L2L1L2故所求平面方程为定义三、直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．或L——直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系解为所求夹角．例5四、点到直线的距离LPMNd点P到直线L的距离为：例6解(方法1)公式法所给直线L的方向向量：LPMNd点P到所给直线的距离为：(方法2)LPMNd要求：五、平面束法设直线L的方程为：1.平面束：则称：为通过直线L的平面束.(2)可以证明：所有平面.证下面证

4、明：过直线L的任一平面(除1外)，必是平面束中的某一平面.过直线L,且例7解(方法1)∵1//2(方法2)L例8(综合题)解L1L(方法1)L1LL1L(方法2)化为参数式方程.L1的方向向量为L1L故L1的对称式方程为从而L1的参数式方程为L1L从而L1的方向向量为L1L(方法3)思路：设LL1则所求直线L正是上述两平面的交线.1.空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.2.两直线的夹角.3.直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）内容小结4.点到直线的距离思考题思考题解答且

5、有故当时结论成立．解先作一过点M且与已知直线L1垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令备用题例2-1LL1代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为例7-1解过已知直线的平面束方程为由题设知由此解得代回平面束方程,得所求为平面方程：注利用平面束：求平面方程时，应注意检验是否为满足题设条件的所求平面，以免丢失此解.解例7-2所求投影直线方程为例8-1(综合)解(方法1)将两已知直线方程化为参数方程为即有(方法2)L1LL1L