最大似然例题及原理应用.doc

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1、例7.1　设总体X的概率密度为　　　　式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量。　　分析　因为总体的分布只含有一个未知参数，所以用矩估计法首先求出　　解 　　　由矩估计法知，令　　　　得参数的矩估计量   。　　似然函数为　　　　对=1,2,…n，对取对数，则有　　　　令　　，　　所以参数的最大似然估计量为　　　　注　本题说明，对总体未知参数的估计，尽管利用同一样本值，但采用不同的估计方法，其结果未必相同。　　[对应练习]　设总体X服从参数p的几何分布，其分布律为，是总体X的一个简单随机样本，试求：　　(1)　p的矩估

2、计量；　　(2)　p的最大似然估计量。　　提示　因为总体分布中只含有一个参数p，所以求p的矩估计量关键是求出总体的均值。　　例7.2　设某种元件的使用寿命的概率密度为　　　　式中>0为未知参数，又设是的一组样本观察值，求参数的最大似然估计值。　　解　似然函数　　　　对于，=1,2,…,n，()>0，取自然对数，则有　　　　从而　　　　所以　　在，=1,2,…,n时单调增加。　　取时，对，，=1,2,…,n成立。取到最大值，故的最大似然估计值为　　 　　注　本题虽然能给出似然方程，但似然方程无解，故不存在驻点，应在边界点上考虑函数最大值。　　[对应练习]　设为总体的一个样本，已知

3、总体的密度函数为　　　　式中>0,,是未知参数，求,的矩估计量和最大似然估计量。　　提示　因为总体的分布中含有两个未知参数，用矩法估计时，首先求出和，令，，可求得,的矩估计量。　　例7.3　某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，今随机抽查12袋测得其重量(单位g)分虽为1001,1004,1003,1000,997,999,1004,1000,996,1002,998,999。　　(1)　求平均袋重的点估计值；　　(2)　求方差的点估计值；　　(3)　求的置信度为95%的置信区间；　　(4)　求的置信度为95%的置信区间；　　(5)　若已知＝9，求的95%的置信区间。　　

4、解　　　(1)　　　(2)　　　(3)　未知，则的置信度为1－的置信区间为　　　　依题意：　　　　故的置信度为95%的区间估计为(998.577,1001.923)。　　(4)　未知，的置信度为95%的置信区间为　　　　查表 　　　　故的置信度为95%的区间估计为(3.479,19.982)。　　(5)　当＝9为已知时，关于的置信度为95%的置信区间为　　。　　查表 　　故的置信度为95%的区间估计为(998.553,1001.14)。　　[对应练习]　设两总体相互独立，，，从中分别抽取容量为n1=85，n2=60的样本，且算得＝82，＝76，求的置信度为95%的置信区