2016_2017学年高中数学第3章导数应用章末高效整合课件北师大版.pptx

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1、章末高效整合知能整合提升1．利用导数判断单调性的步骤及注意的问题(1)步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③令f′(x)＞0，解出x的取值范围，便得函数单调递增的区间，令f′(x)＜0，解出x的取值范围，便得函数单调递减的区间．(2)注意的问题：①确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．②在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．③注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分条件

2、．2．极值与最值的求法(1)极值的求法：设函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数的极大值；若在点x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数的极小值．(2)最值的求法：函数的最值．在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，先求出f(x)在(a，b)内的极值，然后将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．极值与最值的区

3、别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．开区间(a，b)上的连续函数f(x)在(a，b)上最值、极值情况有如下几种可能情况：①没有极值，无最大值无最小值．②有极大值无极小值，有最大值无最小值．③有极小值无极大值，有最小值无最大值．④有极大值、极小值，极大值、极小值

4、即为最大值、最小值．4．用导数解决实际问题应注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较．也可以知道这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．热点考点例析基本初等函数的单调性可利用单调性的概念和函数图象与性质进行研究，而非基本初等函数的单调性问题一般可用导数方法进行研究．f′(x)>0(<0)在

5、区间(a，b)上成立是f(x)在区间(a，b)上是增加(减少)的充分条件；反之，f(x)在区间(a，b)上是增加(减少)的，则有f′(x)≥0(≤0)在区间(a，b)上恒成立，且f′(x)不恒为零，据此理论可研究函数的单调性或由函数的单调性求其所含参数的取值问题．利用导数研究函数的单调性问题1．求函数y＝－lnx＋2x2的单调区间．2．讨论函数f(x)＝loga(3x2＋5x－2)(a＞0且a≠0)的单调性．导数是求函数极值与最值的最有力工具，函数y＝f(x)的极值是其定义域内的一个局部概念，用f′(x)＝0的根，将f(x)的定义域分成若干个小区间，并列成表

6、格，结合每个小区间内f′(x)的正负号来判定f(x)在相应区间上的增减性来确定f(x)的极值．f′(x)＝0的根x不一定是函数的极值点．对于求函数的最值问题，只需将极值与区间端点函数值比较即可．利用导数研究函数的极值与最值3．已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求y＝f(x)的单调区间和极大值；(2)证明：对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式

7、f(x1)－f(x2)

8、＜4恒成立．则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，所以有f′(－1)＝f′(1)＝0.当x∈(－∞，－1)时，f′(

9、x)＞0，故y＝f(x)在区间(－∞，－1)上是增函数．当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故y＝f(x)在区间(－1,1)是减函数．当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故y＝f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1,1)．所以y＝f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x在[－1,1]上是减函数，所以y＝f(x)在[－1,1]上的最大值M＝f(－1)＝2，y＝f(x)在[－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2.所以对任意的x

10、1，x2∈(－1,1)恒有

11、f(x1)－f(x2)

12、