高中数学第三章导数及其应用章末高效整合课件.pptx

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1、知能整合提升一、变化率与导数1．函数的变化率(1)相关概念(2)有关说明①瞬时变化率是平均变化率的极限．②函数变化率的绝对值的大小说明了函数增减的快慢：绝对值越大，函数增减得越快；从图象上看表现为曲线的陡缓程度：绝对值越大，图象越陡．三、函数的单调性与导数1．导数与函数单调性的定义函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内可导，若f′(x)>0，则y＝f(x)在这个区间内单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．讨论函数单调性应注意的问题(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义

2、域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．(4)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．例如，f(x)＝x3.(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.(6)利用导数的

3、符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．(7)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间上仍为增函数．四、函数的极值、最值与导数1．可导函数的极值(1)定义设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点x都有f(x0)>f(x)(或f(x0)

4、函数的极值点，所以导数为0的点是该点为极值点的必要条件，其充分条件还需要再添加“该点两侧的导数异号”．举例如下：①导数为0的点是极值点：f(x)＝x2，f′(0)＝0，x＝0是极小值点；②导数为0的点不是极值点：f(x)＝x3，f′(0)＝0，x＝0不是极值点．五、生活中的优化问题举例1．导数在实际生活中的应用主要有以下几个方面(1)与几何有关的最值问题(面积和体积等的最值)；(2)与物理学有关的最值问题(功和功率等的最值)；(3)与利润及其成本有关的最值问题；(4)效率最值问题．2．解决优化问题的一般思路(1)审题：

5、阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，做出正确的判断，确定其答案．热点考点例析导数的几何意义的应用【点拨】利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．常见类型有两种：一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”；这种类型中的点不一定是切点，可

6、先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)(1)又y1＝f(x1)(2)由(1)，(2)求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．[规范解答](1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴

7、f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.【点拨】导数与函数的单调性相结合的常见问题：(1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值．特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能用“∪”连接．(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．利用导数研究函数单调性已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递

8、增，求a的取值范围．[思维点击]利用导数求解，注意(1)(2)两问求解的区别．2．求函数y＝x3－3x＋1的单调区间．解析：y′＝3x2－3解3x2－3>0得x>1或x<－1.解3x2－3<0得－1