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1、第二讲 椭圆、双曲线与抛物线一、主干知识1.圆锥曲线的定义:名称椭圆双曲线抛物线定义PF1+PF2=2a(2a>F1F2)
2、PF1-PF2
3、=2a(0<2ab>0)__________(a>0,b>0)________(p>0)y轴__________(a>b>0)__________(a>0,b>0)________(p>0)y2=±2pxx2=±2py二、重要性质1.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系：(1)在椭圆中：________；离心率为_____
4、.(2)在双曲线中：________；离心率为_____.a2=b2+c2c2=b2+a22.双曲线的渐近线方程与焦点坐标:(1)双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为_________;焦点F1_______,F2______.(2)双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为_________,焦点坐标F1_______,F2______.(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c)3.抛物线的焦点坐标与准线方程:(1)抛物线y2=±2px(p>0)的焦点坐标为___________,准线方程为__________.(2)抛物线x2=±2py(p>0)的焦点坐标为___________,准线
5、方程为__________.(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于则C的方程是_________.【解析】设C的方程为(a>b>0)，则c=1,C的方程是答案：2.(2012·湖南高考改编)已知双曲线C：的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为_______.【解析】由焦距为10，知2c=10，c=5.将P(2,1)代入得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为答案：3.(2013·济南模拟)抛物线y2=-12x的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为_______.【解析】抛物线y2
6、=-12x的准线为x=3,双曲线的两渐近线为和令x=3，分别解得所以三角形的底为高为3，所以三角形的面积为答案：4.(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为(a＞0,b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若则椭圆C的离心率为________.【解析】由原点到直线BF的距离为d1得因F到l的距离为d2故又所以又解得答案：5.(2013·宿迁模拟)已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为_________.【解析】因为的焦点为所以a2+b2=3.所以
7、双曲线方程为答案：热点考向1圆锥曲线的定义、标准方程与性质【典例1】(1)(2013·天津模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为________.(2)(2013·北京模拟)已知双曲线的中心在原点，一个焦点为点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是_________.(3)(2013·长沙模拟)椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是_________.【解题探究】(1)圆M
8、方程的求解思路：①据点M到其焦点F的距离为5，由抛物线的定义得p=__.②根据点M(1,m)(m>0)在抛物线y2=2px上，得点M______.③根据圆M与y轴相切得圆M的半径为r=__.8(1,4)1(2)根据线段PF1的中点坐标为(0,2)能得到什么?提示:得P点坐标(4),且P与另一焦点连线垂直于x轴,从而求得PF1,PF2的值,进而据定义得2a.(3)求椭圆C离心率的关键是什么?提示:关键是据题设条件构建关于a,c的不等式,进而得到关于e的不等式求解.【解析】(1)由抛物线的定义得解得p=8,所以抛物线的方程为y2=16x,又点M(1,m)在此抛物线上,所以有m2=16,且m>0
9、,得m=4,即M(1,4),又圆M与y轴相切,故其半径为r=1,所以圆的方程为(x-1)2+(y-4)2=1.答案:(x-1)2+(y-4)2=1(2)由双曲线的焦点可知c=线段PF1的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F2,则有PF2⊥x轴,且PF2=4,点P在双曲线右支上,所以所以PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为答案:(3)当点P位于椭圆的两个短轴端点时，△F1
