世纪金榜二轮专题辅导与练习专题六第三讲

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1、第三讲定点、定值与最值问题一、主干知识1.定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.2.定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.最值问题的两大求解策略：解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别关注用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的结构特征直接或换元后选用基本不等式法、导数法、数形结合法等求最值.二、重要结论1.直线

2、与圆锥曲线相交的问题，牢记“联立方程，把要求的量转化为根与系数的关系”.2.有关弦长问题，牢记弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要牢记圆锥曲线定义的运用，以简化运算.3.涉及弦中点的问题，牢记“点差法”是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法.4.求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的范围等.5.牢记曲线f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ为参数)过曲线f1(x,y)=0与f2(x,y)=0的交点.1.(2013·昆明模拟)已知直线

3、x=t与椭圆交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则取最小值时t的值为___.【解析】椭圆的左焦点F(-4,0),根据对称性可设P(t,y),Q(t,-y)，则=(t+4,y),=(t+4,-y),所以=(t+4,y)·(t+4,-y)=(t+4)2-y2.又因为所以=(t+4)2-y2=t2+8t+16-9+t2=所以当时，取值最小.答案：2.(2013·重庆模拟)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是_________.【解析】由抛物线定义知该圆必过抛物线y2=8x的焦点F(2,0).答案：(2，0)3.(2013·江西

4、高考改编)已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM∶MN=______.【解析】设直线FA的倾斜角为θ，因为F(0,1)，A(2,0)，所以直线FA的斜率为即tanθ=过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得FM=MQ，在△MQN中可得即FM∶MN=1∶答案：1∶4.(2013·盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1，0)．过抛物线在x轴上方的不同两点A，B作抛物线的切线AC，BD，与x轴分别交于C，D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．(1)求抛物线的标准

5、方程.(2)求证：MN⊥x轴.(3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1，0)，求证：直线AB过定点．【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，由题意，得即p=2．所以抛物线的标准方程为y2=4x．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>0，y2>0．由y2=4x(y>0)，得所以切线AC的方程为y-y1=即y－y1=(x－x1)．整理，得yy1=2(x+x1)，①且C点坐标为(－x1，0)．同理得切线BD的方程为yy2=2(x+x2)，②且D点坐标为(－x2，0)．由①②消去y，得xM=又直线AD的方程为③直线BC的方程为④由③④消去y，得xN=所以xM=xN

6、，即MN⊥x轴．(3)由题意,设M(1,y0),代入(2)中的①②,得y0y1=2(1+x1),y0y2=2(1+x2).所以A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程y0y=2(1+x).所以直线AB的方程为y0y=2(1+x).故直线AB过定点(-1,0).热点考向1定点的探究与证明问题【典例1】(1)(2013·郑州模拟)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=4x上的两个动点,O是坐标原点,=0,则直线AB过定点.(2)(2013·聊城模拟)如图,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.

7、①求椭圆的标准方程.②设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明动直线AE经过一定点.【解题探究】(1)由=0，得y1y2为定值____；当x1≠x2时，直线AB的斜率kAB=________(用y1,y2表示)直线AB的方程为_______________.(用y1,y2表示)当x1=x2时，直线AB的方程为x=__.(2)①由离心率为______;由点到直线的距离求得b=___.②证明动