高等数学PPT邱茂路.ppt

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1、第八章多元函数微分学多元函数就是有多个自变量的函数。多元函数微分学的核心内容是偏导数与全微分的概念及运算。本章包括九节。前三节主要介绍一些术语，其中包括多元函数的极限与连续的概念。中间四节是本章重点，其中包括偏导数与全微分的概念，偏导数与全微分的计算方法。最后两节是多元函数微分学在极值计算中的应用。8.1空间解析几何简介8.2多元函数8.3二元函数的极限与连续8.4偏导数8.5全微分8.6复合函数微分法8.7隐函数微分法8.8二元函数的极值8.9条件极值§8.18.1空间解析几何简介8.1.1空间直角坐标系多元函数的研究，需要一些空间解析几何的

2、知识。本节的目的，就是介绍这些知识。过空间一点O，作三条互相垂直的数轴OX，OY，OZ，并按右手规则确定方向，即四指由OX轴正向，转向OY轴正向，则拇指指向OZ轴的正向，这样就建立了空间直角坐标系，如图8.1-1。图8.1-1§8.1O称为坐标原点，三条数轴，称为坐标轴。每两条坐标轴确定一个坐标平面，由OX，OY轴确定的坐标平面称为XY坐标平面。其余类推。如图8.1-2。图8.1-2§8.1给定一个三元数组(x,y,z)，如图8.1-3所示，我们沿OX轴走x单位距离(x>0，沿OX轴正向，x<0，沿OX轴负向)，接着再沿平行于OY轴的方向走y单

3、位距离，再沿平行于OZ轴的方向走z单位距离，找到一点M。反过来，若给定空间一点M，逆着上述过程可得到一个三元数组(x,y,z)。图8.1-3这样，空间中的点M，与三元数组(x,y,z)之间便建立了一一对应的关系M(x,y,z)三元数组(x,y,z)称为点M的坐标，x,y,z分别称为点M的第一分量、第二分量、第三分量。§8.18.1.2空间两点间的距离由图8.1-4，利用勾股定理，可得空间两点M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)之间的距离公式图8.1-4它与直线上两点间的距离平面上两点间的距离具有同一个形式。由此，你不难得出四维

4、、五维空间的两点间距离公式该是什么样子。§8.18.1.3空间中的曲面与方程一般说来，一个三元方程F(x,y,z)=0有无穷多解，每一个解(x,y,z)在空间可表示为一个点，则方程F(x,y,z)=0的所有解将给出空间中的一张曲面S，我们把S叫做方程F(x,y,z)=0的曲面，而把方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程。例8.1.1．方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2(1)的解集，给出空间中的球面，球心在(x0,y0,z0)，半径为R。见图8.1-5。方程(1)叫球面的方程。图8.1-5§8.1例8.1.2．方程Ax+B

5、y+Cz+D=0(2)给出空间中的平面，平面在空间中的摆放，由系数A、B、C、D来确定。如图8.1-6、图8.1-7。方程(2)叫平面方程的一般形式。图8.1-7图8.1-6§8.1例如，已知两点M1(1,-1,0)，M2(2,0,-2)，考虑线段M1M2的垂直平分面的方程。见图8.1-8。

6、MM1

7、=

8、MM2

9、图8.1-8想象这个垂直平分面由一个动点M(例如铅笔的笔尖)描出，则M必满足方程即整理，得x+y+2z-3=0可见线段M1M2的垂直平分面的方程就是一个形如(2)式的方程。§8.1例8.1.3．方程x2+y2=R2的解集给出空间中的圆柱

10、面，它在XY平面上的解集为一个圆。用类似的分析可知,在空间直角坐标系中:当点(x,y,0)是方程的解，即点(x,y,0)在圆上，则对z，(x,y,z)也是方程的解。这些解构成过点(x,y,0)平行于z轴的一条直线，所有这样的直线，就形成了一个圆柱面。如图8.1-9。图8.1-9若方程缺少变量，其解曲面一定是平行于所缺变量坐标轴的柱面。我们经常利用这一点来确定一个方程所表示的曲面在空间的摆放方式。§8.1例8.1.4．方程x=4，缺两个变量，因此方程所表示的曲面既平行于Y轴又平行于Z轴。方程x=4的解集是平行于YZ坐标平面的平面，且到YZ坐标面

11、的距离是4。如图8.1-10。注意，x=4在一维空间中表示一点，在二维空间中表示一条直线，方程的图形与所在空间的维数有关。图8.1-10§8.28.2多元函数8.2.1平面区域平面上由一条或几条曲线围成的部分叫区域。如图8.2-1。围成区域的曲线叫区域的边界曲线。包括边界的区域叫闭区域，不包括边界区域的叫开区域。图8.2-1§8.2区域通常由不等式组的解集给出。例如,不等式x2+y24的解集为闭圆域,见图8.2-2.图8.2-2表示为。不等式组的解集为闭环域，表示为，见图8.2-3。图8.2-3区域叫点(x0,y0)的邻域，见图8.2-4。

12、图8.2-4§8.2直观上，不连通的区域是由几块“彼此隔离”的区域组成的，如图8.2-7，而连通的区域是一块区域。若区域延伸到无穷远，称区域为无界区域