高等数学PPT邱茂路(II)

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1、第七章定积分定积分是一个和式的极限，在几何上，它表示一个曲边梯形的面积。定积分与不定积分是两个不同的概念，但通过微积分基本定理，这两个概念被紧密的联系在一起，使得定积分的计算，在技术上是一个不定积分的问题。本章先给出定积分的概念，然后给出定积分的性质、微积分基本定理、定积分的计算方法和无穷限广义积分的概念。本章的最后，给出定积分在几何和物理中的一些简单应用。本章的重点是定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法。这三种积分方法的使用与不定积分基本一样。7.1定积分的概念7.2定积分的性质7.3微积分基本定理7.4定积分的换元积分法7.5定积分的分部积分法7.6

2、无穷限广义积分7.7定积分应用§7.17.1定积分的概念7.1.1引例问题：求由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b和x轴所围成的图形的面积。注：这类图形叫曲边梯形，如图7.1-1。图7.1-1将曲边梯形分为许多微小部分，在微小部分上将f(x)看作不变，求出微小部分的面积，再将微小部分累积起来，得到曲边梯形面积的一个近似，借助极限过程，将近似化为精确。我们采用极限的方法，即先求近似，再取极限：§7.1解：将区间[a,b]分为许多小区间(见图7.1-2)图7.1-2[x0,x1]，[x1,x2]，…，[xn-1,xn]相应的，曲边梯形被分成许多小曲边梯形：ΔS

3、1,ΔS2,…,ΔSn每一个小区间分得足够小，以至于在每个小区间上，小曲边梯形的高度f(x)可以近似的看作不变，此时第i个小曲边梯形的面积近似的为f(i)xi其中i为第i个小区间上任意一点，xi为第i个小区间的长度。§7.1再把这些微小部分累加起来，当小区间的数量增加，且每个小区间长度0时，和式的极限就是所求曲边梯形的面积。((1)式中x表示小区间长度的最大者)。(1)可见,为求曲边梯形的面积,我们需要计算一个形如(1)式的极限。还有很多问题的计算，例如：已知速度求路程，已知分布密度求总质量，这些问题的计算，都归结为形如(1)式的极限，这样就有

4、必要对(1)式型的极限进行研究。(1)式型的极限就是下面要定义的定积分。§7.17.1.2定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，a=x0

5、符号读作“f(x)从a到b的积分”。符号(拉长的S，S是sum的第一个字母)叫做积分号，表明积分是一个和。积分号下面的函数f(x)叫做被积函数，x为积分变量，a到b的区间叫做积分区间，a叫积分下限，b叫积分上限。§7.1由引例，定积分可以看作曲边梯形的面积。曲边梯形可以看作是由许多个高为f(x)，底为dx的“窄长条”拼成,如图7.1-3所示。符号表示把所有这些“窄长条”的面积累积在一起的过程。图7.1-3§7.17.1.3定积分的几何意义这你已经知道了，但是要深深地印刻在脑海里，使得数学的思维常常是靠直观推动的，建立数学对象的几何形象，能使我们直观的思考数学

6、和理解数学。定积分，当f(x)0，在几何上表示一个曲边梯形的面积，见图7.1-4。图7.1-4每当出现，你脑海中那个曲边梯形就出现。§7.1f(x)0，f(x)不能看作微小面积的高，但-f(x)可以，于是若在[a,b]上，f(x)0，在几何上是什么？见图7.1-5。图7.1-5=-(曲边梯形的面积)§7.1若在[a,b]上，f(x)有时正、有时负，表示x轴上方的面积之和减去x轴下方的面积之和。见图7.1-6。图7.1-6§7.1解：由几何意义，例7.1.1.求见图7.1-7。图7.1-7§7.1解：可见例7.1.2.由几何意义，见图7.1-8、7.1-

7、9。图7.1-8图7.1-9正余弦函数，在整数个周期内的积分是0这一结果，我们以后会经常用到。§7.1见图7.1-10。解：被积函数是上半圆的方程由几何意义，为半径为2的圆的面积的。∴例7.1.3．求图7.1-10§7.27.2定积分的性质定积分有十二条性质，这些性质能帮助我们更好的运用定积分来求解问题。性质1．上下限相等，积分为0。本节介绍十条性质，其余两条放到下一节，利用微积分基本定理给出。上下限相等，积分区间缩成一点，曲边梯形缩成一线，故面积为0，即§7.2性质2．当被积函数是1，积分值等于积分区间长度。即注意到，f(x)=1，可知是底为(b-a)，高

8、为1的矩形面积。见图7.2-1。图7.2-1故有。§