高等数学ppt邱茂路1

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1、邱茂路刘效军第一章函数由于事物之间的相互联系，常常可以用函数来表达，因此，函数概念就显得非常重要。事实上，函数是数学研究的基本对象，各种各样的数学问题，实质上是在研究各种各样的函数的各种各样的性质。本章介绍与函数概念有关的一些术语，主要有：函数、定义域值域、反函数、复合函数、隐函数。简单介绍了反三角函数，以及函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性四条基本性质。本章的内容大部分是中学已经学过的，但表示方式可能是新的。1.1函数的概念1.2反三角函数1.3函数的基本性质§1.11.1函数的概念1.1.1函数的概念设X，Y为两个集合，若对

2、xX，按照对应规则f，有Y中唯一的元素y与之对应，则称对应规则f为从X到Y的一个函数，记做称X为函数的定义域，记为Df，即Df=X。可用图1.1-1表示为：图1.1-1函数概念要反映的，是两个集合X,Y的元素之间的对应关系。定义1.1.1：§1.1f是由X到Y的函数，它的定义域是X，它的值在Y中。符号表示：符号表示：f映x到y。f映x到y常记为y=f(x)，此时也说x在f下的象是y，并称x为自变量，y为因变量。对于X的任意子集A，A中所有元素的象的集合叫做A在f下的象，记作f(A)。特别，X在f下的象f(X)称为函数的值域。§1.

3、1图1.1-2给出X到Y的一个函数关系，其中在微积分课程中，集合X，Y通常为数集，而对应规则f通常由依次执行的一系列运算来实现，而这一系列运算，常由一个表达式给出，这是微积分中最常见的函数形式。例如X={1,2,3,4,5}，Y={a,b,c,d,e}，定义域为X，值域为{a,b,c}。图1.1-2§1.11.1.2满射，单射，双射函数是一种对应规则，其中有三种特殊情况。区别这三种情况，有助于我们理解反函数的概念。(1)．满射。若yY，xX，s.t.y=f(x)称f:XY为满射。满射就是Y中每一个元素都是“象”。这里“”

4、，读作“任意”，或“任给”；“”读作“存在”；“s.t.”读作“使得”。引进具有特定意义的符号，将使我们的表达更加简洁和准确。以后，我们会经常这样做。§1.1(2)．单射。图1.1-5给出一个满射：图1.1-5若x1，x2X，当x1x2f(x1)f(x2)称f:XY为单射。单射就是不同的元素，有不同的象。符号“”读作“则”，或“那么”。图1.1-6给出一个单射：图1.1-6§1.1(3)．双射。若f:XY既是满射，又是单射，称f为双射，或“一一对应”。图1.1-7给出一个双射。：图1.1-71.1.3反函数对于双射

5、，f:XY，若将箭头反向，如图1.1-8，则给出由Y到X的函数，称为f的反函数。图1.1-8§1.1定义1.1.2：设f:XY为双射，定义映射f–1:YX当f(x)=y时，有f–1(y)=x，称f–1为f的反函数，或叫逆映射。由反函数的定义，易见有下列重要恒等式：求y=f(x)的反函数，只要将x解出来。§1.1例如：y=2x+1，反函数：y=ex，反函数：x=lny当f:XY不是双射，此时，常将f限制在一个满足双射条件的范围内定义反函数。例如：y=x2，看作(-,+)(-,+)的函数，不为双射；若看作(0,+)

6、(0,+)的函数，则为双射。此时有反函数§1.11.1.4复合函数一个函数给出一个对应规则。两个函数接连进行，则给出一个由X到Z的对应规则即F(x)=g(f(x))，称F(x)为g与f的复合函数。例如：y=sinu，u=x2，复合而成y=sinx2。y=eu，u=sinx，复合而成y=esinx。F是g与f的复合也常记作F=gof此时，称f为内层，g为外层。所谓的内层外层，只是说，在上述表达式中，g在外层，f在内层，但作为复合函数是依次接连进行的两个对应，没有层的含义。类似地，三个对应接连进行，将给出三个函数的复合函数。§1.21

7、.2反三角函数1.2.1反正弦函数三角函数为周期函数，其定义域与值域之间不是双射，因而三角函数在其定义域内无反函数。为定义三角函数的反函数，我们限制自变量的范围，使此限制区间上的函数为双射，进而即可考虑反函数。正弦函数y=sinx限制在区间上为双射，值域为[-1,1]。见图1.2-1。图1.2-1§1.2定义1.2.1：正弦函数在上的反函数叫反正弦函数，记作x=arcsiny注意，arcsin是一个符号，不能拆开写。反正弦函数是的映射，反正弦函数定义域是[-1,1]，值域是由反正弦函数定义，易见反正弦函数有下列重要的恒等式：sin(

8、arcsiny)=y，y[-1,1]arcsin(sinx)=x，§1.2人们习惯于用y表示因变量，用x表示自变量，因而反正弦函数通常记为y=arcsinx反正弦函数的图像如图1.2-2：图1.2-2例1.2.1．例1.2.2.§1