高等数学PPT邱茂路1-(11).ppt

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1、第十二章行列式在第十章中曾指出，矩阵、线性方程组和行列式是研究线性映射的三个基本工具。本章我们来介绍行列式。行列式是由方阵按照一定的规则确定的一个数，这个数能够反映矩阵及其所表示的线性映射的一些重要特征。行列式的这一功能显示了行列式在线性映射研究中的重要性。本章由四节构成。第一节给出了行列式的概念，并重点介绍了行列式所显示的线性映射的两个特征：行列式的绝对值反映了线性映射的“体积”放缩率，行列式的正负反映了线性映射对于空间定向是保持还是改变。第二节介绍了行列式的运算性质及其应用。最后两节给出了行列式的两个应用。由于行列式总是方阵的行列式，

2、去掉定语“方阵的”，也不会产生混乱，因此，我们将方阵的行列式，简称“行列式”。12.1方阵的行列式12.2行列式的性质与计算12.3克来姆法则12.4齐次线性方程组12.1方阵的行列式12.1.1行列式的概念定义12.1.1：§12.1由n阶方阵A按“确定的方式”可确定一个数，称为方阵A的行列式，记为

3、A

4、，读作“方阵A的行列式”。这个“确定的方式”说起来很麻烦。二阶行列式定义为(1)即，二阶行列式是一个代数和。这个代数和，可按图12.1-1所示的对角线规则得到：§12.1可记为：主对角元的积，减去次对角元的积。例如：对n阶方阵A，记

5、A

6、1k

7、为从A中划去元素a1k所在的行及列，剩下的元素构成的n-1阶行列式。称

8、A1k

9、为元素a1k的代数余子式。图12.1-1(这条线叫主对角线)(这条线叫次对角线)假设已定义了n-1阶方阵的行列式。§12.1则n阶方阵的行列式定义为行列式的定义有多种方式，上述定义方式可称为按第一行展开法。即：n阶方阵A的行列式，是第一行各元素与其代数余子式的积的和。依照这一定义，我们就可在两阶的基础上定义三阶，在三阶的基础上定义四阶，只要你愿意，你可以一直进行下去。但四阶就已经够烦人的了。§12.1我们已定义了二阶行列式，于是三阶行列式定义为：(2)最

10、后一式，也可按图12.1-2所示对角线规则得到：§12.1对二阶和三阶行列式，可按上述对角线规则计算。图12.1-2虚线对应的项全为负项实线对应的项全为正项§12.1例12.1.1．计算三阶行列式。解：按对角线规则，=212.1.2行列式的几何意义§12.1考虑线性映射y=Ax，其中A=，x=，y=，矩阵A的行列式为4，即

11、A

12、=4。由可见A把映到，A把映到，§12.1正方形，(见图12.1-3)。于是A把以，为边的正方形，映为以，为边的图12.1-3图12.1-3左边图形的面积为1，右边图形的面积为4。可见，线性映射A把左边的图形变换为

13、右边的图形，把图形放大了4倍，这个放大倍数恰为矩阵A的行列式，由此可见：§12.1矩阵A的行列式就是映射A对图形面积的放缩率。我们再看一种情况。设线性映射的矩阵为A=，此时

14、A

15、=-4。由可见，A把映到，A把映到，§12.1图12.1-4左边图形的面积为1，右边图形的面积为4。可见，线性映射A把左边的图形变换为右边的图形，把图形放大了4倍，但此时矩阵A的行列式为

16、A

17、=-4，这意味着方形，(见图12.1-4)。A把以，为边的正方形，映为以，为边的正图12.1-4线性映射A不仅把图形放大了4倍，还改变了图形的定向。§12.1下面，我们来说明

18、这一点。位正方形的定向，在映射后没有改变。由Ae1=，握向向量Ae2=，拇指仍指向“天花板”，即单假设你的书是水平放置的,在图12.1-3的单位正方形上,将你的右手四指伸直指向e1,让拇指与四指呈垂直,由向量e1=,握向向量e2=，拇指指向“天花板”；在图12.1-3的大正方形上，四指§12.1对图12.1-4来说，小正方形的定向与图12.1-3一样。而对于大正方形，当四指由Ae1=，握向Ae2=，拇指则指向“地板”。这说明，线性映射不仅对图形进行了放缩，同时还把正面朝上的图形翻了过来，使其背面朝上，因而图形的定向，在A的映射下改变了。总

19、结上述，我们有：线性映射的矩阵的行列式，其绝对值表示线性映射把图形放大(缩小)了几倍数，其正负，表示线性映射是否改变了图形的定向。尽管我们是在极其简单的情况下得出的这一结论，但这却是一个一般结论。12.1.3行列式几何意义的应用§12.1由

20、B

21、为映射B的体积放大倍数，

22、A

23、为映射A的体积放大倍数，则

24、A

25、

26、B

27、就为映射的AB的体积放大倍数，即(1)．矩阵乘积AB，的对应着两个线性映射的复合：

28、AB

29、=

30、A

31、

32、B

33、可以从理论上证明这是正确的。此式常说成矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积。这是一个常用的公式。§12.1(2)．由单位矩

34、阵的行列式为1，对AA-1=I两边取行列式，有

35、A

36、

37、A-1

38、=1或者此式常说成逆矩阵的行列式等于矩阵行列式的倒数。这也是一个常用的公式。12.2行列式的性质与计算12.2.1行列式的性质