高等数学PPT邱茂路1 (16)

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1、第十七章幂级数幂级数就是将无穷多个幂函数相加。幂级数的理论是对函数进行研究的重要工具，在数值计算、微分方程求解中都有应用。幂级数的研究主要包括三个方面的问题：(1)．幂级数的收敛域；(2)．幂级数求和；(3)．将函数展开成幂级数。本章包括三节。第一节介绍幂级数的概念和收敛域的求法。第二节，介绍幂级数求和的方法，其实就是等比级数求和。第三节介绍函数的幂级数展开方法。17.1幂级数的收敛域17.2幂级数求和17.3将函数用幂级数表示17.1幂级数的收敛域17.1.1幂级数概念§17.1给出一个幂函数列其中，an为常数，n=0,1,2…。将幂函数列

2、的所有项都加起来称上述幂函数列的和为幂级数。当x取定值x0，幂级数成为数值级数。§17.1例17.1.1．给出幂函数列将幂函数列的所有项都加起来，得幂级数当x取定值，幂级数成为数值级数。17.1.2幂级数的收敛域若数值级数收敛，称幂级数在x0处收敛，x0称为幂级数的收敛点。若数值级数发散，称幂级数在x0处发散，x0称为幂级数的发散点。§17.1例17.1.2．给出幂级数当x取定值,幂级数成为数值级数,此数值级数收敛。故幂级数在处收敛，是幂级数的收敛点。当x取定值2,幂级数成为数值级数,此数值级数发散。故幂级数在处收敛，是幂级数的发散点。足条件

3、

4、x

5、<1的点,都是收敛点;所有满足条件

6、x

7、1的点,都是发散点。由于幂级数对每个x都是等比级数,公比为x,所以所有满幂级数的所有收敛点的集合，叫幂级数的收敛域；幂级数的所有发散点的集合，叫幂级数的发散域。§17.1这个例子中，幂级数的收敛域，是关于原点对称的区间；发散域是位于这个对称区间两侧的两个半无穷区间。例17.1.3．幂级数的收敛域为满足不等式

8、x

9、<1的集合,即开区间(-1,1)；发散域为满足不等式

10、x

11、1的点的集合，即(-,-1][1,+)，见图17.1-1。图17.1-1下面将看到，这是幂级数收敛域与发散域的共同特征。

12、17.1.3幂级数收敛域的求法§17.1求幂级数的收敛域，也就是求幂级数所有收敛点的集合。由任意项级数收敛的比值判敛法，若有极限则不等式r

13、x

14、<1的解集，为收敛点集。不等式r

15、x

16、>1的解集，为发散点集。在使r

17、x

18、=1的两点处，比值判敛法失效，一般用交错级数的莱不尼兹判别法确定其敛散性。若收敛，就归到收敛集合中，若发散就归到发散集合中，然后就可回答收敛域和发散域是什么。幂级数的收敛域，是关于原点对称的一个区间，可能包括端点，也可能不包括端点。称收敛区间的半径，为幂级数的收敛半径。注意，单纯从收敛半径上，看不出收敛域是否包括端点。§1

19、7.1解：(1)．例17.1.4．求幂级数的收敛域和收敛半径。所以，当，即-2

20、x

21、>2级数发散。§17.1(2)．在端点x=-2，级数成为，是发散的；在端点x=2，级数成为，是条件收敛的。(3).所以,收敛半径R=2.解：因为例17.1.5．求级数的收敛域。所以级数的收敛域为(-,+)，收敛半径R=+。§17.1解：(1)．例17.1.6．(2)．原级数成为1+1+1+…+1+…,是发散的.(3)．。17.1.4幂级数的一般形式§17.1解：令x-2=t，则原级数变为，一般形式通过变量替换幂级数的一般形式为

22、可化为我们已经熟悉的形式，在这种形式下进行研究，然后再将研究结果反变换到级数上。例17.1.7．。§17.1由∴，即

23、t

24、<2，级数绝对收敛。，级数发散。当t=2，级数成为，发散；当t=-2，级数成为，发散；§17.1即，

25、x-2

26、<2，即0

27、x-2

28、2，即x0或x4，级数发散。若本题如下求解则更直接：∴级数当

29、t

30、<2，级数绝对收敛，

31、t

32、2，级数发散。§17.1所以，当0

33、x-2

34、2，级数发散。∴当，即

35、x-2

36、<2，级数收敛；当，即

37、

38、x-2

39、>2，级数发散。当，即x=0或x=4时：17.2幂级数求和17.2.1幂级数为等比级数§17.2级数求和是很麻烦的，能够求和的情况很少。我们介绍以下三种情况。当幂级数可以表示为等比级数，此时幂级数可以直接求和。这个和是x的函数，称为幂级数的和函数，简称为幂级数的和。例17.2.1．求幂级数的和与收敛域。解：幂级数为等比级数,公比q=x,所以幂级数的和为(1)收敛域为不等式

40、x

41、<1的解集，即开区间(-1,1)。§17.2收敛域为开区间(-2,2)。例17.2.2．求幂级数的和与收敛域。解:幂级数为等比级数,公比,所以幂级数的和为解不等

42、式，得-2

43、3x

44、<1，得。收敛域为开区间。1