同济六版 高等数学下10-习题课.ppt

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1、1重积分习题课一、主要内容定义几何意义性质计算法二重积分定义几何意义性质计算法三重积分21、二重积分的定义3２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．4性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质5性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地6性质６性质７（二重积分中值定理）7二重积分在直角坐标下的计算公式(先y后x)(先x后y)［X－型］［Y－型］8（２）极坐标系下区域D如图9二重积分化为二次积分的公式（２）区域D如图10极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域D如图115、三重积分的

2、定义126、三重积分的几何意义7、三重积分的性质类似于二重积分的性质．138、三重积分的计算(１)直角坐标先一后二先二后一1415x0zyc1c2zDz计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）先做二重积分，后做定积分16x0zyc1c2.先做二重积分，后做定积分计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）zDz17x0zyc1c2I=.先做二重积分，后做定积分计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）zDz18x0zyc1c2计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）.先做二重积分，后做定积分I=19(２)柱面坐标20(３)球面坐标21相关的知识点1、强调积分是一个数值，只和被积函数和积

3、分区域有关，与积分变量的记法无关.2、对于二重积分：（1）根据被积函数和积分区域选择合适的坐标系（直角坐标，极坐标）.先作出图形，若积分区域为扇形或圆、圆环，最好用极坐标；若被积函数用直角坐标积分积不出，例如，试选择极坐标.(注意积分次序.)22为什么引用极坐标计算二重积分21D0yxD1D2D3D4D:.怎么计算？需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!23(2)在直角坐标系中，先作出图形，然后根据被积函数、积分区域选择合适的积分次序，选择时首先要保证被积函数能积出，其次使积分区域尽量简单.（4）充分利用对称性来化简积分.(3)含有绝对值号的，含有max{},min{}的，

4、根据图形划分区域去掉绝对值号.3、对于三重积分：（1）充分利用对称性来化简积分.24(2)选择合适的积分区域：一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆或者扇形域,被积函数含有式子x2+y2时,用柱坐标计算比较简单(x2+y2=r2).注意投影的区域尽可能的简单.25其余的可考虑选用直角坐标系.直角坐标系中还有先一后二、先二后一（截面法）方法，注意截面法所要求的条件.若的边界曲面与球面有关，而被积函数中含有的因子，则以选用球面坐标系.26例1练习.计算二重积分在第一象限部分.其中D为圆域例228计算例329例4练习:练习积分可化为定积分例531思考题练习:例7练习:例8例934例10练习

5、设由曲面围成，计算35计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.线例1136(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)思考题37侧面方程:提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)38由题意知令得因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为100小时.39思考题