同济大学第六版高等数学D6习题课.ppt

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1、习题课1.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法:元素法元素形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.定积分的应用第六章例1.求抛物线在(0,1)内的一条切线,与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积使它故为最小值点,因而所求切线为得[0,1]上的唯一驻点例2.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得又(2)旋转体体积又为唯

2、一极小值点,因此时V取最小值.例3.过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.(1)求D的面积;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积.解:(1)设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知的切线.该切线与曲线因此故切线方程为D的面积为1(2003考研)(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积.(2)切线、x轴及直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x轴及直线所围图形绕直线旋转所因此所求旋转体体积为1得旋转体体积为例4.证明曲边扇形绕极轴证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积元素故旋转而成的体积为故所求旋转体体积为例5.求由与所

3、围区域绕旋转所得旋转体体积.解:曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则例6.半径为R,密度为的球沉入深为H(H>2R)的水池底,水的密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的功元素为提出水面后的功元素为现将其从水池中取出,需做体积元素所受重力上升高度因此功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”例7.设有半径为R的半球形容器如图.(1)以每秒为a的速度向空容器中注水,(0

4、深为h,求水深为h(1)求由题设,经过t秒后容器内的水量为而高为h的球缺的体积为半球可看作半圆绕y轴旋转而成体积元素:故有两边对t求导,得at,(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于体积元素:元素的重力:薄层所需的功元素故所求功为到池沿高度所需的功.作业P2932;3;6;7;9