线性代数第三章向量与向量空间.ppt

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1、第三章向量与向量空间第一节ｎ维向量一ｎ维向量三应用举例二向量的运算五向量空间四向量组与矩阵确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数：小鸟重心在空间的位置参数小鸟身体的水平转角θ小鸟身体的仰角ψ鸟翼的转角ψ所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组１、引入一、ｎ维向量（Vector）小鸟身体的质量ｍ鸟翼的振动频率ｔ还有…２、定义ｎ个数　　　　　组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中　称为第　个分量（坐标）.一般记作如：ｎ维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，如：一般记作α,β,γ.ｎ维向量写成一

2、列，称为列向量，也就是列矩阵，（RowVector）（ColumnVector）注意１、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３、当没有明确说明时，都当作实的列向量.2、元素全为零的向量称为零向量（NullVector）.3、长度为１的向量称为单位向量（IdentityVector）.4、维数相同的列（行）向量称为向量同型.元素是复数的向量称为复向量（ComplexVector）.３、几种特殊向量1、元素是实数的向量称为实向量（RealVector

3、）.5、对应分量相等的向量称为向量相等.４、向量与矩阵的关系其第ｊ个列向量记作ｍ个ｎ维行向量.按行分块按列分块ｎ个ｍ维列向量.其第ｉ个行向量记作矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.二、向量的运算1、加法规定2、数乘规定称为数ｋ与向量α的数量积.向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.称为α与β的和向量.称为α与β的差向量.4、乘法对于ｎ维行向量为一阶方阵，即一个数.为ｎ阶方阵；3、转置5、运算规律（1）（交换律）（2）（结合律）（3）（4）（5）（减法）(设α,β

4、,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数)（6）（7）（8）（9）特别三、应用举例例１设ｎ维向量　　　　　　　　　　，矩阵，其中Ｅ为设ｎ阶单位阵，证明：证明：例２设求解若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如四、向量组、矩阵、线性方程组向量组　　　　　　　称为矩阵Ａ的列向量组.对于一个矩阵有ｎ个ｍ维列向量.记作：向量组　　　　　　　　为矩阵Ａ的行向量组．类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组构成一个　　　矩阵

5、.ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组也构成一个　　　矩阵.矩阵与向量组之间一一对应．线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵(Ab)的列向量组之间一一对应．即或例３全体ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作.五、向量空间1、定义设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称向量组Ｖ为向量空间（VectorSpace）．解任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量；任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间.易知　该集合对加法封闭，对数乘也封闭，例４判别下列集合是否

6、为向量空间.解有所以　是一个向量空间.解所以　不是一个向量空间.例５判别下列集合是否为向量空间.解有所以　是一个向量空间.解所以　不是一个向量空间.例６设α,β为两个已知的ｎ维向量试判断集合是否为向量空间.解所以　是一个向量空间.定义由向量组的一切线性组合构成的集合称为由生成的向量空间，记为：注等价向量组生成相同的向量空间.向　　量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐　标　表　示　式坐标系2、结构空　　间解析几何线性代数点空

7、间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代　数　形　象：向量空间中的平面几　何　形　象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一　一　对　应第二节向量的线性相关性一线性相关性三应用举例二判别准则四小结课前复习１、定义ｎ个数　　　　　组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中　称为第　个分量（坐标）.记作ｎ维向量写成一行称为行向量，一般记作ｎ维向量写成一列称为列向量，一般２、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.３、矩阵与向量的关系若

8、干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．５、向量组６、向量空间设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称集合Ｖ为向量空间.４、向量的运算向量的运算可采用矩阵的运算规律.一、向量的线性相关性1、基本概念定义Ⅰ给定向量组，对于任何一组数,称向量为向量组A的一个线性组合（LinearCombination）.为组合的组合系数（CombinationCoefficient）.定义Ⅱ设向量组及向量β有关系则β称为向量组A的一个线性组合，或称β可由向量组