线性代数课件09向量组的秩与向量空间.ppt

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1、主要内容第九讲向量组的秩与向量空间向量组的最大无关组和向量组的秩的定义及等价定义；基本要求向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量组的秩和最大无关组的求法；向量空间的概念，向量空间的基和维数、子空间、向量组所生成的空间等概念及有关结论.理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组.知道向量空间、向量空间的基和维数、子空间、向量组所生成的空间的概念.会求向量在基中的坐标.1一、向量组的秩与最大无关组第三节向量组的秩定义⑴向量组线性无关；设有向量组，如果在中能选出个向量，满足⑵向量组中任意

2、个向量（如果中有个向量的话）都线性相关.那么称向量组是向量组的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组，最大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.2例如设向量组⑴线性无关；⑵线性相关，所以是向量组的最大无关组，且.另外，也线性无关，所以也是向量组的最大无关组.同理，也是向量组的最大无关组.3说明这个定义是把秩的概念引申到向量组中来，给秩的概念赋予几何解释.并且由于向量组可以含无限多个向量，从而使秩的概念深入到更广阔的领域.定义表明最大无关组就是含向量个数最多的线性无关的部分组.向量组的最大无关组一般

3、不唯一.若向量组的秩为，则向量组中任意个线性无关的向量组成的向量组都是它的最大无关组.4二、向量组的秩与矩阵的秩的关系1.定理的引入记根据最大无关的定义，知所以中存在阶非零子式，即矩阵中含有阶非零子式.另一方面，如果中有阶子式不为零，则矩阵中所在的列线性无关（因为矩阵的秩为）.设向量组的秩为，且是它的一个最大无关组.这与是的列向量组的最大无关组矛盾.因此即，矩阵的列向量组的秩等于矩阵的秩.52.定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.证设并设的阶子式.由知，在中所在的列线性无关；又由中所有阶子式均为零知，中任意个列向量都线性相关

4、.因此，所在的列是的列向量组的一个最大无关组，所以的列向量组的秩为.类似可证矩阵的行向量组的秩等于矩阵的秩.6说明根据上述定理，有限向量组的秩的记号与矩阵的秩的记号不加区分.向量组的秩也记作此定理给出了向量组的秩和最大无关组的求法.向量组的秩等于它所构成的矩阵的秩；最高阶非零子式所在的列向量，就是列向量组的最大无关组.由此可知，前面介绍的定理1、2、3、4中出现的矩阵的秩都可该为向量组的秩.7例1全体维向量构成的向量组记作，求的一个最大无关组及的秩.解我们已经知道，维单位坐标向量组析：此例的目的是熟悉向量组的最大无关组和向量组秩的定义.联系后面的向

5、量空间的概念，知是一个维向量空间，是它的一个基，称为的自然基.是线性无关，又中的任意个向量（维）都线性相关，因此向量组是的一个最大无关组，且的秩等于.显然，的最大无关组很多，任何个线性无关的维向量都是的最大无关组.8三、最大无关组的等价定义1.结论的引入问题：向量组与其最大无关组有什么关系呢？设向量组是向量组的最大无关组，显然，向量组能由向量组线性表示：另一方面，因为向量组是向量组的最大无关组，所以向量组中任意个向量都线性相关，特别地，对于中任一向量，向量组线性相关，因此线性表示，所以向量组与其最大无关组等价.即向量组能由向量组线性表示.92.推论

6、（最大无关组的等价定义）设向量组向量组的一个部分组，且满足⑴向量组线性无关；⑵向量组的任一向量都能由向量组线性表示，（向量组与等价）那么向量组就是向量组的一个最大无关组.10证析：按所设，要证明向量组是向量组的一个最大无关组，只要证明向量组中任意个向量线性相关.设是向量组中任意个向量，按条件⑵知，能由向量组线性表示，从而有（由定理3）于是，由定理4知，线性相关，因此向量组是向量组的一个最大无关组.11例2设齐次线性方程组的全体解向量构成的向量组为，求的秩.解析：此题的目的是运用“最大无关组的等价定义”求向量组的最大无关组和秩.先解方程12得所以方程

7、组的通解为再写出向量组，13把上式记作则即能由向量组线性表示，而显然是线性无关的.因此根据最大无关组的等价定义知，是的最大无关组，从而.14四、含无限个向量的向量组的结论利用最大无关组和向量组的秩，可以把定理1、2、3推广到含无限个向量的向量组：向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.定理1定理1`向量组和向量，向量组表示由向量组与向量合并而成的向量组.向量能由向量组的充要条件是.15向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，定理2定理2`设向量组表示由向量组与向量组合并而成的向量组，则向量组能由向量组线性表

8、示充要条件是.定理3设向量组能由向量组线性表示，则定理3`设向量组能由向量组线性表示，则证明16例3设向量组能由向量组线性