《线性代数》第三章向量空间.ppt

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1、二.线性相关性三.向量组的秩一.n维向量空间四.矩阵的秩第三章向量空间五.内积与正交化1一.n维向量空间分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，1.n维向量定义：n个有次序的数所组成的有序数组称为一个n维向量。这n个数称为该向量的n个分量，第个数称为第个分量。以后我们用小写希腊字母来代表向量。2例如：n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量3向量通常写成一行：有时也写成一列：称为行向量。称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。分量全为零的向量称为零向量。2.向量的运算和性质向量相等：如果n维向量的对应分量都相等，即就称这两个向量相等，记为4向量加法：向

2、量称为向量的和，记为负向量：向量称为向量的负向量向量减法：数乘向量：设k为数域p中的数，向量称为向量与数k的数量乘积。记为5满足运算律：注：（1）对任意的向量存在唯一的零向量使得（2）对任意的向量存在唯一的负向量使得（4）如果则（3）63.n维向量空间说明:定义：设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．集合对于加法及数乘两种运算封闭指例1：3维向量的全体是一个向量空间。n维向量的全体，也是一个向量空间。7例2:判别下列集合是否为向量空间.解：所以，是向量空间。(2)不是向量空间。8是否为向量空间.（这个向量空间成为由向量a，b生成的

3、向量空间）一般地，由向量组所生成的向量空间为例3：设a，b为两个已知的n维向量，判断集合解：所以V是一个向量空间。91.线性组合与线性表示二.线性相关性1.线性组合与线性表示2.向量组等价3.线性相关、无关4.判断线性相关性的定理5.线性相关及表示的定理定义1：给定向量组对于任何一组实数向量称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。定义2：给定向量组和向量如果存在一组实数使得则称向量是向量组A的线性组合，或称向量能由向量组A线性表示。10例如：有所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。11定理1:判断向量可否由向量组线性表示的定理。向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：

4、以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。线性方程组的矩阵表示和向量表示：12令方程组可表示为则方程组的向量表示为132.向量组等价定义3：如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。即143.线性相关,线性无关及其几何说明几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线.(2)三向量线性相关：三向量共面.定义4：例1：用定义判断线性相关性。(1)向量线性______关。(2)向量线性______关。相相154.判断线性相关性的定理至少有一个

5、向量可由其余m-1个向量线性表示向量组线性相关定理2：推论：向量组线性无关任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示(1)(2)n维向量组线性相关定理3:推论：n维向量组线性无关16例2:试讨论向量组及向量组的线性相关性.解：设数使得成立。即未知量为系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量线性相关。向量对应分量不成比例，所以线性无关。17例3:n维向量讨论它们的线性相关性.结论:线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.问题:n=3时,分别是什么？18(3)则向量组也线性相关。则，向量组也线性无关。若向量组线性相关，定理4：若向量组线性无关，定理5：部分相关则整体相关

6、整体无关则部分无关(4)定理6：n维向量组线性无关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性无关。定理7：n维向量组线性相关，把每个向量的维数减少后，得到的新向量组仍线性相关。195.线性相关及表示的定理定理8：向量组线性无关,而向量组线性相关,6.一些结论(1)单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2)包含零向量的任何向量组线性相关；(4)有两个向量相等的向量组线性相关；(3)基本向量组线性无关;20(5)m>n时，m个n维向量必线性相关.特别：m=n+1(6)n个n维向量线性无关(7)n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n向量.它们所构成方阵的行列式不为零.例4：已

7、知向量线性无关，证明：向量线性无关。P89.例621