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《线性代数第三章 向量空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、向量空间的基定义维数运算向量空间坐标第三章向量空间向量的线性关系基变换与坐标变换向量的线性表示n维向量欧氏空间向量的线性相关性作者胡志兴王辉再论矩阵的秩向量组的秩2一、几何空间第一节向量空间在几何空间中，称既有大小又有方向的量为向量.一、几何空间建立空间直角坐标系后，向量的坐标表示为α=(,,),aaa123β=(,,).bbb123二、n维向量向量的加法与数乘运算(也称为线性运算)的坐标表示为αβ+=+++(,,)ababab112233三、向量的运算λαλλλλ=(,aaa,),()为常数123四、向量、向量组与矩阵
2、向量平行:若两个非零向量的方向相同或相反,则称这两个向量平行.由于零向量的方向可看作是任意的,五、向量空间可以认为零向量与任意向量都平行.第一节向量空间版权归《线性代数》课程组4定理1两个向量αβ,平行的充分必要条件是定理2三个向量αβγ,,共面的充分必要条件是存在不全为零的实数λμ,,使得λα+=μβ0.存在不全为零的实数kkk123,,,使kkk123αβγ++=0.证明必要性由于αβ,平行,当α≠0时,令证明必要性(⇒)若αβ,共线,存在不全为零的数kk12,,βm=,若αβ,同向,则有β=mα,即mαβ+−(1)
3、=0.使得kk12α+β=0,则kk12αβγ++=00.α若αβ,不共线,用平行四边形法则将向量γ沿αβ,若αβ,反向,则有β=−mα,即mαβ+=0.方向分解,可得γ=kk12αβ+,则kk12αβγ+−=10.当α=0时,有100α+=β.β充分性(⇐)由于kkk123αβγ++=0,γ充分性由于λα+=μβ0,λμ,不全为零.不妨设kβkkk123,,不全为零,不妨设k≠0,2λ3αμ≠0,则β=−α,即αβ,平行.kk12k1αμ则有γ=−α−β.γ在αβ,所在kk33的平面上,故αβγ,,共面.第一节向量空间
4、版权归《线性代数》课程组5第一节向量空间版权归《线性代数》课程组61二、n维向量2.n维向量的表示方法1.向量定义n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵,几何空间中的向量α=(,,)aaa是由三个实数构成123通常用αβγ,,等表示，如：的有序数组(,,),aaa123称之为三维向量.⎛a1⎞定义1n个数组成的有序数组⎜a⎟α=⎜2⎟(,,,)aa"a12n#⎜⎟称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,⎝an⎠第i个数ai称为第i个分量.n维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，分量全为实数的向量称为实向量，分
5、量为复数的向量TTT通常用α,βγ,等表示，如：称为复向量.Tα=(,,,)aa"a12n如不特别声明,我们所讨论的向量均为实向量.第一节向量空间版权归《线性代数》课程组7第一节向量空间版权归《线性代数》课程组8例如三、向量的运算,3,2,1(",n)n维实向量TT定义3设n维向量α=(,,,),αα12"αnβ=(,,,)ββ12"βn1(+2i2,+3i,",n+(n+)1i)n维复向量定义α与β的加法为Tαβ+=(,,α11+βαβ22++",)αβnn,第2个分量T第n个分量定义4数乘λα=(,,,)λαλα12
6、"λαn,第1个分量注意TT定义2若两个n维向量α=(,,,),αα12"αnβ=(,,,)ββ12"βn1.行向量与列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；对应分量相等,即αβ==(1in,2,,)"2.向量的加法与数乘运算称为向量的线性运算.ii则称这两个向量相等,记作αβ=.第一节向量空间版权归《线性代数》课程组9第一节向量空间版权归《线性代数》课程组10⎛⎞0由定义易得向量加法与数乘向量具有如下性质:⎜⎟定义5分量全为零的向量⎜⎟0称为零向量,记为0.αββ+=+α⎜⎟#()αβγ++=++α()βγ.⎜⎟⎝⎠0α+
7、0=α⎛⎞α1⎛−α1⎞α+()0−=α⎜⎟α⎜−α⎟kk()αβ+=+αkβα=⎜⎟2,−=α⎜2⎟负向量⎜⎟#⎜#⎟()kl+α=+klαα⎜⎟α⎜⎝−α⎟⎠kl()()α=klα=lk()α⎝⎠nn1α=α(1)−α=−α负向量00α=k00=.若k≠0,α≠0,则kα≠0.第一节向量空间版权归《线性代数》课程组11第一节向量空间版权归《线性代数》课程组122四、向量、向量组与矩阵类似地,矩阵Aa=()ijmn×又有m个n维行向量.1.向量组的定义T由m个n维向量α,,,αα"构成的集合称为向量组.⎛a11a12"
8、a1n⎞β1⎛⎞βT12m⎜⎟1T记作A:,,,.α12αα"m⎜a21a22"a2n⎟β2⎜⎟T⎛a⎞2.向量组与矩阵的关系⎜⎟⎜⎟β2i1##"#⎜⎟例如,矩阵A=()aA=⎜⎟#=⎜ai2⎟ijmn×βTA=⎜⎟βα1α2αjαn⎜ai1ai2"ain⎟βiTi⎜#⎟""⎜⎟⎜⎟βi⎛a11a12a1ja1n⎞
