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1、第三章向量空间Rn§3.5欧氏空间Rn§3.3向量组的秩§3.2一个n元向量组的线性相关性§3.1向量及其线性组合§3.4向量空间1§3.1向量及其线性组合三维空间的向量:有向线段。建立标准直角坐标系后，它由一点P或一个三元数组(x,y,z)唯一确定。我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。2建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把n元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。3定义n个数组成的有序数组称为一个n维
2、行向量或n维列向量,其中称为该行(列)向量的第i个分量.行向量与列向量统称为向量.分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量,n维实(复)向量的全体记为.以后如无特殊说明,向量均指实向量.约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.或4由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组.例如:m×n的矩阵A全体列向量是含n个m维列向量的向量组,简称A的列组;全体行向量是含m个n维的行向量组,简称A的行组.再如:解的全体是一个含无穷多个n维列向量的向量组.定义
3、5观察如图三维空间中的向量,必有不可能再观察下面方程组增广矩阵的行组有如下关系这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.6向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘运算对应于矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。在Rn中的向量满足以下8条规律：其中a、b、g都是n维向量，k、l为实数。向量的线性运算7解，求使例18对于向量组,表达式则称向量可由向量组A线性表示.通常写成称为向量组A的一个线性组合.又如果是向量组A的一个线性组合,即存在数使向量的线性表示91°零向量可由任一组向量线性表示。中每个向量都可由向量组本身2°向量组线性表示，注意3°任一n元
4、向量都可由n元单位向量组线性表示，即10n元线性方程组可以用向量形式表示为a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++++(1)其中对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为,,…，，线性方程组的向量表示11向量可由向量组线性表示存在数使即有解学会这种转换就可以了!注意:符号混用另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果……(按定义)(转换为方程组)(用矩阵的秩)方程组定理3.1.112例2解记不能由A线性表示;能由A唯一表示;能由A有无穷多种表示,并
5、求所有表示方法.设向量组A:问为何值时,向量只需讨论解的情况.具体解方程组过程略。时,方程组无解,不能由A表示.时,方程组有唯一解,可由A唯一表示.13时,方程组有无穷多解,可由A无穷多种表示.通解为所有表示方法:其中k为任意实数.即14第三章§3.5欧氏空间§3.3向量组的秩§3.2一个n元向量组的线性相关性§3.1向量及其线性组合§3.4向量空间向量空间Rn15§3.2一个n元向量组的线性相关性看看三维空间中的向量(如图)设可表为,说明这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示,说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内(共面).16我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以
6、推广,并换一种叫法.定义向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关;否则,如果任一向量都不能由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立).设向量组,如果其中一个定理3.2.1线性相关与线性表示之间的关系……(证明略)17当m≥2时，向量组线性无关向量组中任一个向量都不能用其余m-1个向量线性表示。定理3.2.1逆否命题等价定义如果存在不全为零的数使得则称该向量组线性相关.否则,如果设便能推出则称该向量组线性无关.如何用数学式子表达,以便理论推导向量组的相关性?定义118存在不全为零的数使即有非零解.还是转换！转换线性无关…向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)齐次方
7、程组(用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。定理3.2.3证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）19问向量组和的线性相关性?线性相关.线性无关.例120例2设向量可由线性无关的向量组线性表示,证明表法是唯一的.证设有两种表示方法由线性无关21证明向量组线性无关.证利用条件设法推出即可.设(1)(1)式左乘得(1)式成为(2)(2)式左乘同理推出例322(参见P.99—101)(1)“部分相关,则整体相关.
