几种常用的梯形辅助线方法2.doc

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1、几种常用的梯形辅助线方法在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用一、平移法（1）梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)［例1］如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，BC＝49cm，求CD的长．解：过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形．∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE．∴EC＝BC－BE＝BC－AD＝49－15＝34cm．又∵AB＝CD，　∴ DE＝CD．又∵∠C＝

2、60°，∴△CDE是等边三角形，即CD＝EC＝34cm．（2）梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)［例2］如图,在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F.求证：EF=FB证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG∵ACED中，AD∥CEAD=CE∴CE∥BG且CE=BG∴∠CEF=∠GBF又∵∠CFE=∠GFB∴△ECF≌△BGF(ASA)∴EF=FB点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形。（3）梯形内平移

3、两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。［例3］如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠B=90°，M，N分别是AD，BC的中点．求证：MN＝证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H,则四边形ABGE,EDCH为平行四边形∴AE=BG，ED=HC5亳州十二中学数学组刘维山∵AB∥EG∴∠B=∠EGF又∵DC∥EH∴∠C=∠EHF则∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°，△EGH是直角三角形∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=ED，BF=CF∴GF=FH则有EF==(BC

4、-BG-HC)=(BC-AD)（4）平移对角线(过一顶点做对角线的平行线）[例4］求证：对角线相等的梯形是等腰梯形已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC=BD求证：AB=DC证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E则四边形ACED是平行四边形∴AC=DE∵DE=AC=DB∴∠DBC=∠E∠ACB=∠E∴∠DBC=∠ACB又∵BD=CABC=CB∴△ABC≌△DCB(SAS)∴AB=DC点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。二、延长两腰交于一点，可使梯形转化为三角形［例5］如图，在梯

5、形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。解：延长BA、CD交于点E∵在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°∴∠E=50°∴BC=EC=5又∵AD//BC∴∠EAD=∠B=50°∴AD=ED=2∴CD=EC-ED=5-2=3三、作梯形的高（1）作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形［例6］如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E5亳州十二中学数学组刘维山求

6、证：四边形ABFE是等腰梯形证明：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG∵AB=2DC　　　∴AG=GB∴DA=DB　　　　∴∠DAB=∠DBA又∵EF//AB∴四边形ABFE是等腰梯形。（2）作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形［例7］如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8,求梯形ABCD的面积。解：过点D、C分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F.∵DC∥AB,DE⊥AB,CF⊥AB∴四边形CDEF是矩形　　∴D

7、C=EF，DE=CF易证△ADE≌△DCF(HL)∴AE=BF∴AE=(AB-EF)=(AB-CD)=3∴DE=∴四、构造全等三角形（1）连接梯形一顶点及一腰的中点［例8］(梯形中位线的性质)如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：MN∥AD∥BC，证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E∵AD//BC，∴∠D=∠DCE易证△ADN≌△ECN(ASA)∴AN=EN，AD=CE又∵AM=MB∴EF∥AD//BC5亳州十二中学数学组刘维山(三角形中位线性质)（2）过一腰的中点作另一腰的平行线［例9］

8、(梯形的中位线性质)如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：MN∥AD∥BC，证明：过F作AB的平行线，交AD的延长线于点N，交BC于M则四边形ANMB为平行四边形∴AN=BM，AB=MN，AB//