工程力学电子教案(第三版 沈养中)第7章 杆件的变形与刚度.ppt

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1、内容提要杆件除满足强度要求外，还必须满足刚度要求。本章介绍杆件在拉压、扭转和弯曲时的变形计算，以及圆轴和梁的刚度计算。第7章杆件的变形与刚度本章内容§7-1杆件拉(压)时的变形§7-2圆轴扭转时的变形与刚度§7-3梁弯曲时的变形与刚度小结第7章杆件的变形与刚度直杆受轴向拉力作用时，其产生的主要变形是沿轴线方向的伸长，同时杆的横向尺寸也有所缩小(图7－1a)。直杆受轴向压力作用时，其产生的主要变形是沿轴线方向的缩短，同时杆的横向尺寸也有所增大(图7－1b)。§7—1杆件拉（压）时的变形图7－11.纵向变形设杆的原长为l，变形后的长度为l1，则该杆沿长度方向的变形为Δl=

2、l1－l（a）Δl称为杆的纵向变形。在拉伸的情况下，l1＞l，Δl＞0(图7－1a)；在压缩的情况下(图7－1b)，l1＜l，Δl＜0。§7—1杆件拉（压）时的变形图7－1§7—1杆件拉（压）时的变形图7－1（7－1）显然，拉伸时＞0，称为拉应变；压缩时＜0，是一个量纲为1的量。称为压应变。§7—1杆件拉（压）时的变形纵向变形Δl只反映杆在纵向的总变形量，它与杆的原长有关。e为了进一步描述杆的变形程度，根据§4－3中线应变的概念，在杆的各部分都均匀伸长的情况下，纵向变形Δl与原长l的比值称为纵向线应变，用表示，即2.横向变形设图7－1a所示拉杆原横向尺寸为d，变形后缩

3、小为d1、，则其横向变形为相应的横向线应变为杆件受拉时(图7－1a)，Δd＜0，＜0；受压时＞0。(图7－1b)，Δd＞0，图7－1（a）（b）Δd=d1－d（b）（7－2）§7—1杆件拉（压）时的变形（c）=－(7－3)称为泊松比或横向变形因数。它是一个量纲为1的量，其值随材料而异，可由试验测定。考虑到与的符号恒相反，由式(c)可得大量试验表明，当杆件变形在弹性范围内时，其横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为一常数，即§7—1杆件拉（压）时的变形3.胡克定律大量试验表明，当杆件变形在弹性范围内时，杆的纵向变形Δl与杆的轴力FN、杆长l成正比，与横截面面积A成反比，即

4、△∝引入比例常数E，则有△＝§7—1杆件拉（压）时的变形上式即为式(4－1)，称为胡克定律。它表明材料在弹性范围内应力与应变的物理关系。式中，E称为弹性模量；EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形所需的力，因而它代表了杆件抵抗拉伸(压缩)变形的能力。因＝、＝，故上式也可改写为＝E§7—1杆件拉（压）时的变形●弹性模量E和泊松比是材料固有的两个弹性常数。表7－1给出了一些常用材料的E、的约值，以供参考。例7－1一木方柱(图7－2)受轴向载荷作用，横截面边长a=200mm，材料的弹性模量E=10GPa，杆的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。解由

5、于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为FNBC＝－100kNFNAB＝－260kN§7—1杆件拉（压）时的变形图7－2由式（7－4），各段柱的纵向变形为△＝＝－＝－0.5×10m＝－0.5mm△＝＝－＝－0.975×10m＝－0.975mm由式（7－1），各段柱的纵向线应变为＝－＝－2.5×10＝－＝－6.5×10§7—1杆件拉（压）时的变形全柱的总变形为两段柱的变形之和，即△=△BC+△AB=－0.5mm－0.975mm=－1.475mm例7－2一直径d＝10mm的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径缩小了0.0021mm，设材料的弹性模量E

6、＝210GPa，泊松比＝0.3。求轴向拉力F。＝－＝－＝－2.1×10由式(7－3)，杆的纵向线应变为＝－＝7×10根据胡克定律，可得横截面上的正应力为＝E＝210×10Pa×7×10＝147×10Pa＝147MPaF＝A＝147×10Pa×(0.01m)＝11.54×10N＝11.54kN故§7—1杆件拉（压）时的变形解由于已知杆的直径缩小量，故先求出杆的横向线应变为7－2－l变形计算圆轴扭转时的变形用两个横截面间绕轴线的相对扭转角来度量(图5－6)。如图7－3所示，相距dx的两个横截面间的扭转角为（推导从略）§7－2圆轴扭转时的变形与刚度式中，T为横截面上的扭矩，

7、以绝对值代入；G为材料的切变模量，Ip为横截面对圆心的极惯性矩。图7－3因此，相距l的两个横截面间的扭转角为当T、G、Ip为常量时，上式成为由式（7－6）可见，扭转角与G成反比，即G越大，轴就越不容易发生扭转变形。因此把G称为圆轴的扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力。（7－5）（7－6）§7－2圆轴扭转时的变形与刚度（7－7）式(7－5)至式(7－7)为圆轴扭转变形的计算公式。式中，的单位为rad(弧度)，的单位为（°）／m(度／米)。上述公式适用于材料在弹性范围内的情况。§7－2圆轴扭转时的变形与刚度工程中通常采用单位长度扭转角，即7－2