复合函数的性质探究.doc

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1、复合函数的性质探究        在高中，我们经常研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及零点等问题.课本上仅介绍了基本的初等函数，由它们构造出纷繁复杂的函数，这里面很多都是复合函数，什么是复合函数？复合函数的性质如何判别？又如何应用？        一、概念        复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.例如y=sin2x与y=sinx不同，它不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”

2、而成的一个函数.        在复合函数的定义中，对复合的步骤和方式有特殊的约定.把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f（x）+b·g（x）或a·f（x）·g（x）的函数不是复合函数.复合函数是指把几个映射依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构造一个复合映射所确定的函数.自变量像被加工的零件依次通过第一个映射、第二个映射，直到通过全部映射.例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘以2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数y=sin2x.        为了叙述和应用的方便

3、，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数.从外向内看函数y=f[g（x）]，称函数y=f（u）为外层函数（外函数），称函数u=g（x）为内层函数（内函数），且称函数y=f[g（x）]为函数f和g复合一次得到.        二、定义域        1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域        思路：设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D，又f对g（x）的作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为y=f[g（x）]的定义域.        例1设函数f（u）的定义域为（0，1），则函数f（lnx）的

4、定义域为.        解：函数f（u）的定义域为（0，1）即u∈（0，1），所以f的作用范围为（0，1）.又f对lnx的作用范围不变，所以0        2.已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域        思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.        例2已知f（3-2x）的定义域为x∈[-1，2]，则函数f（x）的定义域为.        解：f（3-2x）的定义域为[-1，2]，即x∈[-1，2]，由此得3

5、-2x∈[-1，5].所以f的作用范围为[-1，5]；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈[-1，5]，即函数f（x）的定义域为[-1，5].        3.已知f[g（x）]的定义域，求f[h（x）]的定义域        思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，f的作用范围为E；在f[h（x）]中f对h（x）的作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f[h（x）]的定义域.        例3若函数f（2x）的定义域为[-1，1]，则f（log2x）的定义域为.        解：f（2x）的定义域为[-1

6、，1]，即x∈[-1，1]，由此得2x∈[12，2]，所以f的作用范围为[12，2].在f（log2x）中f对log2x的作用范围不变，所以log2x∈[12，2]，解得x∈[2，4]，即f（log2x）的定义域为[2，4].        评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）.f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f作用对象可以变，但f的作用范围不会变.        三、值域        1.可以化归为二次函数的复合函数求值域        例4求函数y=2x+41-x的值域.        分析：含根式的函数关键是去根号，可以

7、利用换元法转化为一元二次函数求值域问题.        解：令t=1-x（x≤1），则x=1-t2，其中t≥0，原函数可以看成由y=-2t2+4t+2与t=1-x复合而成，∵x≤1，∴t≥0，∴y=-2（t-1）2+4（t≥0）∈（-∞，4]，即原函数的值域是（-∞，4].        2.可以化归为一次函数的复合函数求值域        例5求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.        解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2-12，原函数可以看成由函数y=t2-12（1+t）=12（t-1）（t≠-1）与t=

8、sinx+cosx复合而成.        因为t=sinx+cosx=2sin