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1、复合函数的零根探究例1.已知函数 f(x)=,求函数y=f(f(x))+1的零根个数。例2.已知函数y=（k≠0）,若函数y=f(f(x))+1的零点个数是4，则k的取值范围为例3.已知定义在（0，+∞）上的单调函数f(x),若对任意x∈（0，+∞）都有f(f(x)+)=3,则方程f(x)=2+的解集为例4.已知函数f(x)=x+-2，如果关于x的方程f(
2、
3、)+t()=0有三个相异的实数根，求t的范围。例5．已知定义在R上的函数y=f(x)存在零点，且对任意m，n∈R都满足f(mf(m)+f(n))=+n，若关于x的方程
4、f(f(x))-3
5、=1-(a>0，a≠1)恰有三个不
6、同的根，求a的取值范围。例6。已知函数y=f(x)是定义域R的偶函数，当x≥0时，f(x)=，若关于x的方程式[f(x)]2+af(x)+=0，a,b∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是例7.(2015年南通二模第19题第三问）设，函数．当时，求函数零点的个数．8。设定义在R上的函数＝若关于x的方程＋＋c＝0有3个不同的实数解，，，则＋＋＝．复合函数的零根探究对于函数y=f(x)与y=g(x)称函数y=f(g(x))为函数y=f(x)对y=g(x)的复合函数,可以看作由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成，对于函数y=f(x),我们把方程f(x)=0的实数根x叫做
7、函数y=f(x)的零点。复合函数和零点都是高中函数的重要内容，这部分内容一直是学生难以理解和难以掌握的内容，下面就复合函数的零点问题作一探究。例1.已知函数 f(x)=,求函数y=f(f(x))+1的零根个数。分析一：函数y=f(x)为分段函数，用分段方法求出y=f(f(x))的表达式，进而求解。解法一：(1)当x0时f(x)=x+1,y=f(f(x))+1=f(x+1)+1,①当x+1≤0即x≤－1时y=f(x+1)+1=x+1+1=x+2=0,所以＝－2；②当x+1>0即-10时f(x)=
8、,y=f(f(x))+1=f()+1,①当0即0＜x≤1时y=f()+1=+2=0,所以＝；②当＞0即x>1时y=f()+1=+1=0,所以。综上所述函数y=f(f(x))+1的零根有4个。分析二：可以作出y=f(x)图象，用数形结合的方法解决此问题。解法二：作出函数y=f(x)的图象，如图（1）所示由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1，由图象知：f(x)=-1时x=-2或x=,由f(x)=-2或f(x)=结合图象知各有两个解，综上所述函数y=f(f(x))+1的零根有4个。1k0x图（2）-1y例2.已知函数y=（k≠0）,若函数y=f(f(x))+1的零点个数
9、是4，则k的取值范围为分析：由于本题为填空题，可采用图象法解决。解：（1）先画出k>0时y=f(x)的图象，如图（2）所示，由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1,由图象知：f(x)=-1时x=或x=,∵k>0,∴<0,由图象知：f(x)=必有两个解；f(x)=两解时才能保证函数y=f(f(x))+1的零点个数是4个，要保证函数f(x)=两解必有：k≥。图（3）1k0x-1y（2）再画出k<0时y=f(x)的图象，如图（3）所示，由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1,由图象知：当k>-1时直线f(x)=-1与y=f(x)的图象只有一个交点，无法满足题意
10、要求，只有当k≤-1时直线f(x)=-1与y=f(x)的图象有两个交点，其交点横坐标为x=或x=,由图象知：f(x)=要有两个解，必须满足≥k，化简得：恒成立；f(x)=恒有两解；∴当k≤-1时函数y=f(f(x))+1的零点个数是4个。综上所述：k的范围为k≤-1或k≥例3.已知定义在（0，+∞）上的单调函数f(x),若对任意x∈（0，+∞）都有f(f(x)+)=3,则方程f(x)=2+的解集为解：令f(x)+＝c，则f(c)=3,在上式中令x=c，则f(c)+=c，＝c-3，解得c=2，故f(x)=2－，2－＝2+，＝，在同一坐标系中作出函数y=和y=的图象，可知这两个图象
11、有2个交点，即（4，2）和（16，4），则方程f(x)=2+的解集为{4，16}例4.已知函数f(x)=x+-2，如果关于x的方程f(
12、
13、)+t()=0有三个相异的实数根，求t的范围。分析：此方程可看作是函数y=f(g(x))与g(x)=
14、
15、复合而成，方程的根也可看作是函数的零点，此类问题的解决仍然采用数形结合方法。解：令
16、
17、＝m，则f(m)+t(=0，m+-2+t(=0，去分母得：，此方程最多有两个根，由函数m=
18、
19、图象（如图（4））可知，方程的两根必须有一根m≥1，另一根0
