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1、复合函数的性质文/董裕华复合函数是函数知识的综合和拓展，在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识，在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现，但现行中学数学教材中没有作出系统研究.本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的性质及其应用.一、基础知识1.定义.设函数y=f(U),当UEP时，f(u)WQ；u又是X的函数，u=g(X),当XGM时，uGP.从集合M中每一个给定的X,通过P中唯一的元素U与集合Q中唯一的元素y相对应，则y也是x的函数，称为这两个函数的复函数，记为y=f[g(x)].其中y=f(u)叫做复合函数的外函数，u=g(x)叫做复合函数的内函数，集合M叫做这个复合函数的定义域
2、.形如fn(fn-.(2(…。(J(X))…)))的函数叫做多重复合函数，它可以看成是函数U=fn-i(fn-i-1(…f2(f】(X))…))与y=fn(fnT…fn-i+1(U)…)的复合函数.2.单调性.函数u=g(x)在集合M上有定义，uGP；y=f(u)在P上有定义.如果g(x)在皿上递增，f(u)在卩上递增(减)，那么f[g(x)]在M上也递增(减)；如果g(x)在M上递减，f(u)在P上递增(减)，那么fEg(x)]在M上递减(增).3.奇偶性•如果u=g(x)为奇函数，y=f(u)为奇(偶)函数，则复合函数y=f[g(x)]为奇(偶)函数；如果u=g(x)为偶函数，y=f(u
3、)有意义，则复合函数y=f[g(x)]必为偶函数.4.反函数.如果内函数u=g(x)和外函数y=f(u)都分别是其定义域到值域上一一对应的函数，那么复合函数y=『Eg(x)]的反函数为y=訂[L(x)].证明见文[1]・5.周期性.函数u=g(x)是集合R上的周期函数，uWM；f(u)在M上有定义,则复合函数f[g(x)]也是R上的周期函数.内函数为周期函数，复合函数必为周期函数；若外函数为周期函数，复合函数却未必是周期函数.例如1975年加拿大第七届中学生数学竞赛第7题，问sin(x2)是周期函数吗？回答显然是否定的.综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性，不难发现复合函数还有以下性质：6.
4、若内函数11=g(x)的最小正周期为To,uGD,外函数y=「(u)是D上的单调函数，则复合函数y=f[g(x)]也是最小正周期为T。的周期函数.7.若函数f(u)的最小正周期为T。，g(x)=ax+b(aHO),则复合函数f[g(x)]也为周期函数，最小正周期为To/IaI.8.若g(x)为奇函数，当f(x)与2(x)均为偶函数时，复合函数e(x)=『[g(x+a)](aHO)为周期函数，2a是它的一个周期；当f(x)与4)(x)奇偶性相异时，复合函数*(x)=f[g(x+a)](aHO)也为周期函数，4a是它的一个周期.9.若g(x)为偶函数，f(x)在R上有定义，当d(x)为偶函数时，
5、复合函数2(x)=f[g(x+a)](aHO)为周期函数，2a是它的一个周期；当4)(x)为奇函数时，复合函数*(x)=f[g(x+a)](aHO)也为周期函数，4a是它的一个周期.现证明一种情形.f(x)为奇函数，g(x)、e(X)均为偶函数时，由e(-X)=f[g(―x+a)]=fLg(x—a)],又(I)(x)=fCg(x+a)],得f[g(x—a)]=f[g(x+a)],即e(x—2a)=d(x).(x)为周期函数，2a是它的一个周期.其余情形类似可证.例1P(x)和Q(x)为二实系数多项式，它们对一切实数x满足恒等式P[Q(x)]=Q[P(x)],若方程P(x)=Q(x)无实
6、数解，证明：方程P[P(x)]=Q[Q(x)]亦无实数解.导析：学牛观察题冃后，容易闪现出一个念头，即设出多项式P(x)和Q(x),但P[P(x)]、Q[Q(x)]等难以表示•思维受阻后，学牛.转而考虑反证法.假设P[P(x)]=Q[Q(x)]有解，设其解为a,则由P[P(a)]=Q[Q(a)]很难确定下一步证题方向，同样无功而返.这时教师可提醒学生：P(x)=Q(x)无实数解的实质是什么？学牛很快想到P(x)-Q(x)或者恒为止，或者恒为负.不妨设P(x)>Q(x),由此P[P(x)]>Q[P(x)],P[Q(x)]>Q[Q(x)]・又P[Q(x)]=Q[P(x)],得P[P(x)]>Q[
7、Q(x)].这已是学牛•熟悉的问题，可由学牛•整理完成.例2己知f(x+1)=Ix-1
8、-Ix+1I,如果f[f(a)]=f(1993)+1,求a.导析：从条件看，多数同学会想到『(1993)=f(1992+1)=一2,由此『(a)=
9、a—2I—IaI,fEf(a)]=IIa—2I—IaI—2I—IIa—2I—IaII.现在要去掉绝对值符号，就非常困难了.教师适时引导学牛：如果先去绝对值符号呢？-2・2—(D
