探究幂函数的性质

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1、探究幂函数的性质　　幂函数的核心重点是幂函数的图象和性质，因为它是幂函数的核心内容，也是高考命题的方向所在，突破的关键是理解幂函数的图象，通过图象能熟练地理解它们的性质，当然也包括幂函数的单调性和奇偶性。　　一、幂函数的奇偶性　　二、幂函数的图象及单调性　　作幂函数的图象，首先由k确定图像是双曲线型（k<0）还是抛物线型。　　其次，做出幂函数y=x（p，q为互质的正整数）在第一象限内的图象。　　[x][y][O1][1][1][0<<1][=1]　　幂函数图象在第一象限的情况：　　（1）图象必过（1，1）点　　（2）>1时随着x的增大，函数图象向y轴方向延伸，在第一象限内是增函数。　

2、　（3）=1时图象是直线y=x。在第一象限内是增函数。　　（4）0<<1时随着x的增大，函数图象向x轴方向延伸。在第一象限内是增函数。　　（5）<0时随着x的增大，函数图象与x轴、y轴无限接近，但永不相交。在第一象限内是减函数。5　　最后，判断函数的奇偶性，由奇偶性确定图象所在的象限及各象限的单调性。　　（1）若函数是非奇非偶函数，则图象只在第一象限内。　　（2）若函数是奇函数，则图象在第一、三象限内且一、三象限内单调性相同。　　（3）若函数是偶函数，则图象在第一、二象限内且一、二象限内单调性相反。　　三、幂函数性质的应用　　1.幂函数单调性、奇偶性的确定　　例1.已知幂函数y=[x

3、][m2-2m-3]（m∈Z）在（0，+∞）上是减函数，求y的解析式，并讨论单调性和奇偶性　　解：由幂函数的图象与性质知m2-2m-3，得-1

4、，并运用分类讨论的数学思想是解答本题的关键。　　变式1：讨论函数f（x）=[x][]（x∈N*）的定义域、奇偶性和单调性。5　　解析：（1）因为m∈N*，所以m2+m=m（m+1）（m∈N*）是正偶数，所以m2+m+1是正奇数，所以函数f（x）的定义域为R　　（2）因为m2+m+1是正奇数，所以f（-x）=[（-x）][]=-f（x）　　所以f（x）在R上是奇函数。　　（3）因为m2+m+1>0，所以>0，又m2+m+1是正奇数，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增。　　点评：函数的性质是解决函数问题的基础，应掌握五个常用的幂函数：y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1

5、的性质。　　2.如何利用幂函数的单调性解决比较大小的问题　　例2.比较大小：1.20.5，1.20.6，0.51.2，0.61.2　　解：因为0.5<0.6，所以1<1.20.5<1.20.6　　因为0.5<0.6，所以0.51.2<0.61.2<1　　所以，0.51.2<0.61.2<1.20.5<1.20.6　　点评：前两个数用指数函数的单调性比较，后两个数用幂函数的单调性比较。指数函数和幂函数形式差不多，但图象和性质有很大的差别，在解题过程中要特别注意这种差别，这是非常容易忽略而导致出错的地方。　　变式2：比较（-），（-0.7），1.1的大小。　　解析：（-）=（），（-0.

6、7）=（0.7），1.1=1.21　　因为幂函数y=x在（0，+∞）单调递减，且0.7<<1.21　　所以，（0.7）>（）>1.21　　所以，（-0.7）>（-）>1.15　　点评：当幂指数不同时，可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小。　　3.如何利用幂函数的单调性求解参数的范围　　例3.已知（0.71.3）m<（1.30.7）m，求m的取值范围　　解：因为01.30>1所以0.71.3<1.30.7　　又（0.71.3）m0　　点评：因为两个数的指数相同，所以考虑用幂函数的单调性求解。　　4.如何利用幂函数的单调性解不等式　　例4.已知f（x）=x（n∈Z）的图象在[0，+

7、∞）上单调递增，解不等式f（x2-x）0解得-10　　x+3>0　　x2-x