复变函数3-5 习题课.ppt

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1、1一、重点与难点重点：难点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式复合闭路定理与复积分的计算2二、内容提要有向曲线复积分积分存在的条件及计算积分的性质柯西积分定理原函数的定义复合闭路定理柯西积分公式高阶导数公式调和函数和共轭调和函数3设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那末我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,1.有向曲线42.积分的定义5(63.积分存在的条件及计算（1）化成线积分（2）用参数方程将积

2、分化成定积分74.积分的性质85.柯西－古萨基本定理(柯西积分定理)9由定理得106.原函数的定义(牛顿-莱布尼兹公式)117.闭路变形原理复合闭路定理一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那末12138.柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.149.高阶导数公式1510.调和函数和共轭调和函数任何在D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.16定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.共轭调和函数17三、典型例题例1计算的值，其中C为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与

3、从到的线段所接成的折线.解18说明同一函数沿不同路径所得积分值不同.19因此证例2设C为圆周证明下列不等式.20解例3计算当时,21解22解法一利用柯西-古萨基本定理及重要公式由柯西-古萨基本定理有2324解法二利用柯西积分公式25因此由柯西积分公式得2627解分以下四种情况讨论：2829303132解为大于1的自然数.例6计算下列积分33解法一不定积分法.利用柯西—黎曼方程,34因而得到解析函数35解法二线积分法.36因而得到解析函数37解法三全微分法38解例8已知求解析函数,使符合条件39放映结束，按Esc退出.40