复变函数6-习题课

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1、1一、重点与难点重点：难点：分式线性变换及其映射特点分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射2二、内容提要共形映射分式线性映射一一对应性保角性保圆性几个初等函数构成的映射分式线性映射的确定对确定区域的映射保对称性幂函数指数函数31.的几何意义正向之间的夹角.4的一条有向光滑曲线之间的夹角.52)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.3)保角性方向不变的性质,此性质称为保角性.夹角在其大小和方向上都等同于经过64）伸缩率方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.72.共形映射（保角映射）也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射,称为第二类共形

2、映射质:(1)保角性;(2)伸缩率不变性.8称为分式线性映射.任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的分式映射复合而成:3.分式线性映射9分式线性映射的性质1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.102.如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：1.此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.114）分式线性映射具有保对称性.这一性质称为保对称性.1

3、24.唯一决定分式线性映射的条件交比不变性13判别方法:对确定区域的映射在分式线性映射下,C的内部不是映射成方法1在分式线性映射下,如果在圆周C内任取若绕向相反,则C方法214圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所2)当二圆周上有一点映射成无穷远点时,这二围成的区域.3)当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.1)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域.分式线性映射对圆弧边界区域的映射:155.几个初等函数所构成的映射映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成为原来的n倍.

4、16特殊地:因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数所构成的共形映射.01700如果要把带形域映射成角形域,常利用指数函数.0特殊地:0映射特点:18三、典型例题解1利用分式线性映射不变交比和对称点19由交比不变性知20解2由对称点的不变性知，利用不变对称点21解3将所求映射设为利用典型区域映射公式22例2求一个分式线性映射它将圆映成圆,且满足条件解因映成的映射为2324例3求一个分式线性映射它将圆映成圆，且满足条件解25与互为反函数，26故27解28例5试证明在映射下,互相正交的直线族与依此映射成互相正交的直线族与圆族证29由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，故命题得

5、证.[证毕]30例6试将如图所示的区域映射到上半平面.由分式线性映射的保圆性知：将铅直带形域31为所求映射.32放映结束，按Esc退出.33