习题课复变函数与积分变换

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1、1一、重点与难点重点：难点：留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用2二、内容提要留数计算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与极点的关系对数留数留数定理留数在定积分上的应用辐角原理路西原理31）定义如果函数在不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.1.孤立奇点的概念与分类孤立奇点奇点2）孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点;ii)极点;iii)本性奇点.4定义如果洛朗级数中不含的负幂项,那末孤立奇点称为的可去奇点.i)可去奇点5ii)极点定义如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,其中关于的最高幂为即级极点.那末孤

2、立奇点称为函数的或写成6极点的判定方法在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.(a)由定义判别(b)由定义的等价形式判别(c)利用极限判断.7如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,注意:在本性奇点的邻域内不存在且不为iii)本性奇点8i)零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的m级零点.3)函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系如果是的m级极点,那末就是的m级零点.反过来也成立.92.留数记作定义如果的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线C的积分的值除后所得的数称为以10

3、1)留数定理设函数在区域D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末立奇点留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.11(1)如果为的可去奇点,则如果为的一级极点,那末a)(2)如果为的本性奇点,则需将成洛朗级数求展开(3)如果为的极点,则有如下计算规则2)留数的计算方法12c)设及在如果那末为一级极点,且有都解析，如果为的级极点,那末b)13也可定义为记作1.定义设函数在圆环域内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那末积分值为在的留数.的值与C无关,则称此定3)无穷远点的留数14如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那

4、末在所有各奇点(包括点)的留数的总和必等于零.定理153.留数在定积分计算上的应用1）三角函数有理式的积分当历经变程时,z沿单位圆周的正方向绕行一周.16172）无穷积分183）混合型无穷积分19特别地204.对数留数定义具有下列形式的积分:内零点的总个数,P为f(z)在C内极点的总个数.其中,N为f(z)在C且C取正向.21如果f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周f(z)的辐角的改变量.辐角原理路西定理22三、典型例题解23解2425例2求函数的奇点，并确定类型.解是奇点.是二级极点;是三级极点.26例3证明

5、是的六级极点.证27例4求下列各函数在有限奇点处的留数.解(1)在内,28解29解为奇点,当时为一级极点，3031解的一级极点为32例5计算积分为一级极点，为七级极点.解33由留数定理得34例6解在内,3536解例7计算3738例8计算解令39极点为：40例9计算积分解极点为其中由留数定理，有4142例10计算积分解在上半平面内有一级极点43放映结束，按Esc退出.44