复变函数与积分变换4习题课

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1、1一、重点与难点重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数2复数项级数函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径R复变函数绝对收敛运算与性质收敛条件条件收敛复数列收敛半径的计算泰勒级数洛朗级数二、内容提要31.复数列记作4表达式称为复数项无穷级数.其最前面项的和称为级数的部分和.部分和2.复数项级数1)定义52)复级数的收敛与发散充要条件必要条件6非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛如果收敛,那末称级数为绝对收敛.绝对收敛条件收敛7称为这级数的部分和.级数最前面项的和3.复变函

2、数项级数其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作84.幂级数1)在复变函数项级数中,形如的级数称为幂级数.9----阿贝尔Abel定理如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足2)收敛定理10(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.3)收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处处收敛.(2)对所有的正实数除外都发散.11在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一

3、般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意..收敛圆收敛半径12方法1:比值法方法2:根值法4)收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径135)幂级数的运算与性质14如果当时,又设在内解析且满足那末当时,(2)幂级数的代换(复合)运算复变幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数的收敛半径为那末是收敛圆内的解析函数.它的和函数即(1)15(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即(3)在收敛圆内可以逐项积分,即或165.泰勒级数其中泰勒级数1)定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当172)常

4、见函数的泰勒展开式18196.洛朗级数定理C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.1)20函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是f(z)的洛朗级数.21根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法22三、典型例题例1判别级数的敛散性.解（1）发散，收敛，23解解24解由正项级数的比值判别法知绝对收敛.收敛收敛25例2求下列幂级数的

5、收敛半径解26分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解例3求在的泰勒展式.27由于28例4分析：利用逐项求导、逐项积分法.解所以29例5分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数分成部分分式后,应用等比级数求和公式.解30故两端求导得3132例6解33例7解有3435同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的.放映结束，按Esc退出.3637例展开函数成的幂级数到项.解由此得所以解析函数展为幂级数的方法利用定义来求.较难38例分析：利用级数的乘除运算较为简单.解故乘积也绝对收敛.39例设又由泰勒展式的唯一性,又所以

6、解利用待定系数法40比较两端系数得41例解即微分方程对微分方程逐次求导得:4243例解利用微分方程法对上式求导得44由此可得故45解例46放映结束，按Esc退出.47内的洛朗展开式.解484950