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1、二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用机动目录上页下页返回结束中值定理及导数的应用第三章拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用——难点1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理机动目录上页下页返回结束2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论机动目录上页下页返回结束3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,可用原函数法找辅助函数。多用罗尔定理,机动目录上页下页返回结束有时也会用到费马引理，零点定理.(2)若结论中涉及到含中
2、值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在分析:问题转化为证设辅助函数由在[0,1]上满足罗尔定理条件知,至使少存在一点机动目录上页下页返回结束例1.设设辅助函数再由在[x0,1]上满足罗尔定理条件知,至使少存在一点机动目录上页下页返回结束即有例2.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使
3、即机动目录上页下页返回结束例3.机动目录上页下页返回结束设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在例4.设函数f(x)在[a,b]上可导,且试证必存在证:由条件不妨假设而由极限的保号性,存在当时，同理存在当时，任取则有上连续，且从而由零点定理知结论成立.机动目录上页下页返回结束思考：设f(x)在[a,b]上二阶可导,且试证必存在如何证明？思路：（1）证
4、明在(a,b)内存在f(x)的零点ξ，于是f(x)有三个零点：（2）证明在(a,b)内存在f'(x)的两个零点；（3）证明在(a,b)内存在f″(x)的零点。例5.设函数f(x)在[a,b]上可导,且之间的任一实数，试证必存在证:机动目录上页下页返回结束k为介于作辅助函数显然F(x)在[a,b]可导，从而存在最大值M和最小值m.不妨假设则由极限的保号性,存在当时，同理因为存在当时，从而存在使得由费马引理理知即机动目录上页下页返回结束例6.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证机动目录上页下页返回结束例
5、7.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.机动目录上页下页返回结束例8.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得机动目录上页下页返回结束由题设对证:例9.有且机动目录上页下页返回结束下式减上式,得令机动目录上页下页返回结束例10.求解:原式机动目录上页下页返回结束例11.求解法1利用中值定理求极限。因为机动目录上页下页返回结束所以原式=a.解法2利用泰勒公式令则原式机动目录上页下页返回结束解法3利用罗必塔法则原式机动目录上页下页返回结束P139B-3P148B-3P17610
6、(2,4)此处不能使用洛必达法则.且解:例12.设机动目录上页下页返回结束要使f(x)在x=0处连续，则应有存在，确定a的值使f(x)在x=0处连续，并求出二、导数的应用——重点1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.机动目录上页下页返回结束的连续性及导函数例1.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,机动目录上页下页返回结束单调减区间为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;.在区间上是上
7、凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是下凸弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,机动目录上页下页返回结束例2.证明在上单调增加.证:令在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,机动目录上页下页返回结束故当x>0时,从而在上单调增.得例3.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:若题中改为其它不变时,如何设辅助函数?机动目录上页下页返回结束例4.求数列的最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值机动目
8、录上页下页返回结束列表判
