椭圆的定义及标准方程.ppt

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1、椭圆及其标准方程2.1.1椭圆及标准方程2.1椭圆在我们实际生活中，同学们还见过其他椭圆吗？能举出一些实例吗？想一想生活中的椭圆生活中的椭圆生活中的椭圆2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？问题的提出：动画13.若将细绳两端分开并且固定在平面内的F1、F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？1.什么是圆？实验探究[1]取一条细绳，[2]把它的两端

2、固定在板上的两点F1、F2[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形[4]如果细绳的长度不变,调整F1、F2的相对位置，猜想你的椭圆会发生怎样的变化？F1F2M动画2F1F2小结：满足哪几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？[1]平面上----这是大前提[2]动点M到两个定点F1、F2的距离之和是常数2a[3]常数2a要大于焦距2C平面内与两定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点两焦点间的距离叫做椭圆的焦距一、椭圆的定义M·当常数等于

3、F1F2

4、时，轨迹是.线段

5、F1F2·当常数小于

6、F1F2

7、时，轨迹是.不存在建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.2.建系的一般原则几何画板探讨如何建系?1.回顾:求曲线方程的一般方法建系列式化简证明设点下一页上一页取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和等于正常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)

8、。由定义知：()()222221ycxMFycxMF+-=++=∵()()aycxycx22222=+-+++∴将方程移项后平方得：两边再平方得：由椭圆定义知：两边同除以得：这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：它也是椭圆的标准方程。yxoF1F2M焦点坐标其中焦点坐标其中椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上xyooxy椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆的标准方程中三

9、个参数a、b、c始终满足c2=a2-b2（不要与勾股定理a2+b2=c2混淆）；（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值；（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上.（5）椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定.即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出椭圆的标准方程.因此我们需要求椭圆的标准方程时,应该应用待定系数法(其步骤是:先设方程.在求参数,最后写出方程),其关键是求a、b的值.例1.平面内有两个定点(-4,0),(4,0),平面上一点P到

10、这两个定点的距离的和是10,P点的轨迹方程.分析判断:1.和是常数;2常数大于两个定点的距离,故点的轨迹是椭圆.3.焦点在x轴上,过两个定点的直线是x轴,它的线段垂直平分线是y轴.从而保证方程是标准方程.4.根据已知求出a、c,再推出a、b写出椭圆的标准方程.习题训练1根据椭圆的方程填空判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。习题训练2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程（３）满足a=4,c=，椭圆的标准方程为___________4)两个焦点分别是F1(-2,0)，F2(2,0)

11、，且过点3、如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一焦点F2的距离为。4、动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为()A、椭圆B、线段F1F2C、直线F1F2D、不能确定5、椭圆mx2+ny2=-mn，（m

12、x轴上,所以设它的方程为:由椭圆的定义知又因为c=2,所以b2=a2-c2=6因此,所求椭圆的标准方程为:例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于，求它的标准方程.例题讲解变式引申.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的方程为:由椭圆的定义知所以又因为c=2,所以b2=a2-c2=6因此,所求椭圆的标准方程为