《数学归纳法》练习题.doc

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1、《数学归纳法》练习题三、解答题：12.用数学归纳法证明：．13用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*.14.用数学归纳法证明：．15．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．12.证明：（1）当时，左边，右边左边，等式成立．（2）假设时等式成立，即．则当时，左边，时，等式成立．由（1）和（2）知对任意，等式成立．13.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=9

2、1能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.14.证明：（1）当时，左边，右边，，所以不等式成立．（2）假设时不等式成立，即，则当时，，即当时，不等式也成立．由（1）、（2）可知，对于

3、任意时，不等式成立．15.解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，S－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，

4、n＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．