数学归纳法练习题.doc

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1、2.3　数学归纳法第1课时　数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)．A．2B．3C．5D．6解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案　C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)．A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析　等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案　D3．设f(n)＝1＋＋＋…

2、＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)．A.B.＋C.＋D.＋＋解析　∵f(n)＝1＋＋＋…＋，∵f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案　D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故

3、f(k＋1)＝f(k)＋π.答案　π6．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝＋＋…＋.证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即＋＋…＋＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有(　　)．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都

4、成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析　由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案　C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为(　　)．A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析　n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2

5、(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案　B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明　假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案　缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是_

6、_______．解析　当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．答案　2k＋211．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＝(n∈N*)．证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝＝＝＝，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{an}(n∈N*

7、)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.证明　(1)当n＝1时．a1＝S1＝，∴a＝1(an>0)，∴a1＝1，又－＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝－.当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－＝－＝－∴a＋2ak＋1－1＝0，解得ak＋1＝－(an>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝－.